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文檔簡介
1、邊界元方法是一種有效的數(shù)值計算方法,它伴隨著有限元方法發(fā)展起來。由于具有只在邊界離散、計算精度高、適合處理無限域問題等優(yōu)點,邊界元方法被廣泛用于聲學(xué)問題研究。然而,邊界元方法形成的線性系統(tǒng)方程組的系數(shù)矩陣通常是稠密、非對稱滿陣,使用常規(guī)的求解方法將消耗高昂的計算機資源,所以傳統(tǒng)的邊界元方法只適合分析中小規(guī)模的聲學(xué)問題,無法求解大規(guī)模問題。計算能力成為制約邊界元方法在大規(guī)模工程領(lǐng)域發(fā)展與應(yīng)用的瓶頸。因此,發(fā)展一種新型的快速邊界元方法求解大
2、規(guī)模聲學(xué)問題至關(guān)重要。本文主要是對快速多極方法和邊界元方法進行深入研究,提出一種新型的快速多極邊界元方法有效求解大規(guī)模聲學(xué)問題。主要研究內(nèi)容包括:
⑴針對傳統(tǒng)邊界元方法求解外部Helmholtz 方程時存在的非唯一解問題,提出了采用Burton-Miller公式解決這個問題。對于Burton-Miller 公式引入的超奇異及強奇異積分困難,利用新的奇異性減少技術(shù)及Laplace 方程相關(guān)性質(zhì),推導(dǎo)了只包含完全弱奇異積分的B
3、urton-Miller 公式改進形式。此外,提出了一種簡單有效的塊對角預(yù)處理技術(shù)改善線性系統(tǒng)方程組的性態(tài),加速求解的迭代收斂效率。數(shù)值結(jié)果證明了改進的邊界元方法求解聲學(xué)問題的準確性和有效性,同時也揭示出傳統(tǒng)邊界元方法的計算效率為O(N 2)量級(N 為問題的自由度數(shù)),不適合求解大規(guī)模聲學(xué)問題。
⑵基于改進的Burton-Miller 公式,提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模二維(2D)聲學(xué)問題。利用多極擴展理
4、論,推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的計算公式及數(shù)值程序處理流程。此外,根據(jù)樹結(jié)構(gòu)葉子結(jié)點的特點,提出了一種有效的稀疏近似求逆預(yù)處理技術(shù)全面提高快速多極邊界元方法的迭代求解效率,并從理論上證明了新算法各求解步驟具有O(N) 量級的計算復(fù)雜性。數(shù)值算例驗證了快速多極邊界元方法求解2D聲學(xué)問題的準確性和有效性,進一步的數(shù)值測試表明新算法具有O(N) 量級的計算效率,比傳統(tǒng)邊界元方法的計算效率有數(shù)量級的提高。包含24 萬個自由度的多體聲散射算例有效證
5、明了快速多極邊界元方法可以在個人計算機上快速求解大規(guī)模2D聲學(xué)問題,成功克服了傳統(tǒng)邊界元方法不能求解大規(guī)模聲學(xué)問題的技術(shù)瓶頸,并且表現(xiàn)出潛在的工程應(yīng)用價值。
⑶將2D問題延伸到3D(三維)問題,基于改進的Burton-Miller 公式,提出了一種新型的寬頻快速多極邊界元方法求解大規(guī)模全空間聲學(xué)問題。分別利用分波擴展方法及平面波擴展方法,推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的低、高頻問題計算公式,并提出一種可自適應(yīng)實現(xiàn)求解低、高頻問題
6、的寬頻無縫連接形式。此外,根據(jù)現(xiàn)有的經(jīng)驗方法,提出了適合寬頻計算的截斷項數(shù)確定公式。包含52萬個自由度的數(shù)值算例驗證了快速多極邊界元方法求解3D 大規(guī)模聲學(xué)問題的準確性、有效性及工程適用性。
⑷將全空間問題延伸到半空間問題?;?D全空間算法,提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模半空間聲學(xué)問題。利用半空間Green 函數(shù),推導(dǎo)了半空間快速多極邊界元方法的計算公式。新的半空間算法只需要在實域建立樹結(jié)構(gòu),而不需要建立包
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