大規(guī)模聲學(xué)問題的快速多極邊界元方法研究.pdf

1、邊界元方法是一種有效的數(shù)值計算方法，它伴隨著有限元方法發(fā)展起來。由于具有只在邊界離散、計算精度高、適合處理無限域問題等優(yōu)點，邊界元方法被廣泛用于聲學(xué)問題研究。然而，邊界元方法形成的線性系統(tǒng)方程組的系數(shù)矩陣通常是稠密、非對稱滿陣，使用常規(guī)的求解方法將消耗高昂的計算機資源，所以傳統(tǒng)的邊界元方法只適合分析中小規(guī)模的聲學(xué)問題，無法求解大規(guī)模問題。計算能力成為制約邊界元方法在大規(guī)模工程領(lǐng)域發(fā)展與應(yīng)用的瓶頸。因此，發(fā)展一種新型的快速邊界元方法求解大

2、規(guī)模聲學(xué)問題至關(guān)重要。本文主要是對快速多極方法和邊界元方法進行深入研究，提出一種新型的快速多極邊界元方法有效求解大規(guī)模聲學(xué)問題。主要研究內(nèi)容包括：
　　 ⑴針對傳統(tǒng)邊界元方法求解外部Helmholtz 方程時存在的非唯一解問題，提出了采用Burton-Miller公式解決這個問題。對于Burton-Miller 公式引入的超奇異及強奇異積分困難，利用新的奇異性減少技術(shù)及Laplace 方程相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)了只包含完全弱奇異積分的B

3、urton-Miller 公式改進形式。此外，提出了一種簡單有效的塊對角預(yù)處理技術(shù)改善線性系統(tǒng)方程組的性態(tài)，加速求解的迭代收斂效率。數(shù)值結(jié)果證明了改進的邊界元方法求解聲學(xué)問題的準確性和有效性，同時也揭示出傳統(tǒng)邊界元方法的計算效率為O(N 2)量級（N 為問題的自由度數(shù)），不適合求解大規(guī)模聲學(xué)問題。
　　 ⑵基于改進的Burton-Miller 公式，提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模二維（2D）聲學(xué)問題。利用多極擴展理

4、論，推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的計算公式及數(shù)值程序處理流程。此外，根據(jù)樹結(jié)構(gòu)葉子結(jié)點的特點，提出了一種有效的稀疏近似求逆預(yù)處理技術(shù)全面提高快速多極邊界元方法的迭代求解效率，并從理論上證明了新算法各求解步驟具有O(N） 量級的計算復(fù)雜性。數(shù)值算例驗證了快速多極邊界元方法求解2D聲學(xué)問題的準確性和有效性，進一步的數(shù)值測試表明新算法具有O(N） 量級的計算效率，比傳統(tǒng)邊界元方法的計算效率有數(shù)量級的提高。包含24 萬個自由度的多體聲散射算例有效證

5、明了快速多極邊界元方法可以在個人計算機上快速求解大規(guī)模2D聲學(xué)問題，成功克服了傳統(tǒng)邊界元方法不能求解大規(guī)模聲學(xué)問題的技術(shù)瓶頸，并且表現(xiàn)出潛在的工程應(yīng)用價值。
　　 ⑶將2D問題延伸到3D（三維）問題，基于改進的Burton-Miller 公式，提出了一種新型的寬頻快速多極邊界元方法求解大規(guī)模全空間聲學(xué)問題。分別利用分波擴展方法及平面波擴展方法，推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的低、高頻問題計算公式，并提出一種可自適應(yīng)實現(xiàn)求解低、高頻問題

6、的寬頻無縫連接形式。此外，根據(jù)現(xiàn)有的經(jīng)驗方法，提出了適合寬頻計算的截斷項數(shù)確定公式。包含52萬個自由度的數(shù)值算例驗證了快速多極邊界元方法求解3D 大規(guī)模聲學(xué)問題的準確性、有效性及工程適用性。
　　 ⑷將全空間問題延伸到半空間問題?；?D全空間算法，提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模半空間聲學(xué)問題。利用半空間Green 函數(shù)，推導(dǎo)了半空間快速多極邊界元方法的計算公式。新的半空間算法只需要在實域建立樹結(jié)構(gòu)，而不需要建立包