多圓盤Bergman空間上乘法算子的約化子空間.pdf

1、函數(shù)空間上的算子理論是聯(lián)系著函數(shù)論與算子理論的紐帶與橋梁.目前函數(shù)空間上的某些具有代表性的線性算子的結(jié)構(gòu)是算子理論中研究的熱點，其中算子的不變子空間問題一直以來都是最基本的研究問題之一.迄今可分Hilbert空間上的不變子空間問題仍是算子理論中的一個著名的公開問題，即在可分Hilbert空間上，是否對每個有界線性算子都有非平凡的不變子空間？1996年，H.Hedenmalm，s.Richter和K.Seip[1]證明了每一個無窮維可分H

2、ilbert空間上的不變子空間問題和Bergman空間上以z為符號的乘法算子的不變子空間的萬有性問題是等價的.由此引發(fā)了眾多學(xué)者對Bergman空間上乘法算子的不變子空間問題的關(guān)注.作為一類特殊的不變子空間，Bergman空間上乘法算子的約化子空間也具有重要的理論意義.對此，人們已經(jīng)對Bergman空間上乘法算子的約化子空間及其性質(zhì)進(jìn)行了廣泛而又深入的研究.
　　本文主要研究多圓盤非加權(quán)和加權(quán)Bergman空間A2a(Dk)(k≥

3、3)上乘法算子MZN11ZN22…ZNk k的約化子空間結(jié)構(gòu)，并對其極小約化子空間進(jìn)行完全的刻畫.
　　第一節(jié)中，我們主要研究三圓盤非加權(quán)和權(quán)為非負(fù)有理數(shù)的加權(quán)Bergman空間上乘法算子的約化子空間與極小約化子空間的結(jié)構(gòu).利用Bergman空間中的任一多項式關(guān)于約化子空間的正交分解，完全地刻畫了以ZN1ZN22ZN33為符號的乘法算子ZN11ZN22…(ZNN)的極小約化子空間.
　　第二節(jié)中，我們進(jìn)一步對多圓盤Bergm

4、an空間中乘法算子的約化子空間進(jìn)行研究，首先在非加權(quán)多圓盤Bergman空間上，我們得到了與三圓盤Bergman空間類似的結(jié)論.隨后我們在多圓盤加權(quán)Bergman空間上展開研究，證得乘法算子MZN11ZN22…ZNk k的約化子空間均是由至多可數(shù)個極小約化子空間的直和構(gòu)成.自然地，我們會考慮極小約化子空間該如何刻畫的問題.通過舉例，我們發(fā)現(xiàn)在多圓盤加權(quán)Bergman空間上乘法算子的極小約化子空間比非加權(quán)Bergman空間上以及雙圓盤加權(quán)