關(guān)于一些概率方法在正線性算子逼近中的應(yīng)用.pdf

1、本文主要討論了一些概率方法在正線性算子逼近中的應(yīng)用，全文共分四章. 第一章，介紹了隨機(jī)方法與正線性算子逼近理論之間的關(guān)系，同時(shí)介紹了本文的一些主要結(jié)果. 第二章，文獻(xiàn)中介紹了Bernstein多項(xiàng)式具有保存Lipschitz常數(shù)的性質(zhì)，并得到如下定理： 定理A：如果f∈LipAμ，則對(duì)所有n≥1，Bn(f)∈LipAμ. 它是從Bernstein多項(xiàng)式的定義出發(fā)，先把Bn(f，x1)和Bx(f，x2)分別

2、化成下列雙和形式： Bn(f,x2)=n∑k=0n-k∑l=0n!/k!l!(n-k-l)!xkl(x2-x1)l(1-x2)n-k-lf(k+l/n) Bn(f,x1)=n∑k=0n-k∑l=0n!/k!l!(n-k-l)!xkl(x2-x1)l(1-x2)n-k-lf(k/n) 然后經(jīng)過(guò)一些復(fù)雜的初等運(yùn)算，同時(shí)利用定理A的條件證得 ｜｜Bn(f,x1)-Bn(f,x2)｜≤A(x2-x1)u

3、本文對(duì)上述定理給出另一種證明方法，即利用Bernstein算子的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式及概率論中相關(guān)的數(shù)字特征不等式來(lái)證明定理A，使其證明過(guò)程得到簡(jiǎn)化，并且我們把這種證明方法推廣到一類概率型算子當(dāng)中. 第三章，主要討論了具有下列形式和性質(zhì)的正線性算子的逼近性質(zhì)： (1)Ltf(x)=Ef(Zt(x))x∈I，t∈T (2)E(Zt(x))=xE(Zt(x)-x)2=λ(t)ψ2(x)x∈I，t∈T其中I為R的子集，T={

4、1，2，……}或T=(0，∞)，f為定義在I上實(shí)值可測(cè)函數(shù)，并且滿足Lt｜f|＜∞，λ(t)是定義在T上的正函數(shù)，并且滿足當(dāng)t→∞時(shí)，λ(t)→0，ψ(x)為I上的連續(xù)函數(shù)，且Ax∈I0有ψ(x)＞0(I0為I的內(nèi)鄰域). C.Sanguesa[2]把具有形式(1)并且滿足(2)的算子定義為中心的Bernstein型算子，并且討論了這類型算子關(guān)于Ditzian-Totik模的A型逆不等式的證明，即證明下列不等式： W2ψ

5、(f,√λ(t))∞≤Ci‖Lff-f‖(Ci為絕對(duì)常數(shù))文獻(xiàn)[2]表明了，對(duì)于上述不等式的證明，如果在通常證明方法，比如在Ltf的Taylor's展開(kāi)式或Ltf的迭代中滲入概率思想，那么可以降低其證明的難度.另外，Rasul.A.Khan[3]在文獻(xiàn)[4]基礎(chǔ)上利用概率方法討論了由Bleiman，ButzerandHahn引進(jìn)的一個(gè)算子關(guān)于一階連續(xù)模和二階連續(xù)模的收斂速度，從而簡(jiǎn)化并且加強(qiáng)了[4]中的結(jié)果.本文在[2]和[3]基礎(chǔ)上利

6、用概率方法及K-泛函與二階連續(xù)模之間的關(guān)系討論中心的Bernstein型算子的逼近度，得到下面兩個(gè)主要結(jié)果：｜Lt(f,x)-f(x)｜≤2(ψ(x)+1)ω(f，,√λ(t))和|Lt(f,x)-f(x)｜≤2C[ω2(f,√λ(t)·ψ(x)+λ(t)ψ2(x)‖f‖cn]其中C為常數(shù)，ψ(x)，λ(t)與(2)中相同. 作為上面兩個(gè)結(jié)果的應(yīng)用，本文對(duì)幾個(gè)具體的中心的Bernstein型算子進(jìn)行討論，比如Bernstein算

7、子，Szasz-Mirakyan算子及Gamma型算子等，分別得到它們關(guān)于一階連續(xù)模和二階連續(xù)模的逼近度.當(dāng)然我們知道對(duì)于上述幾個(gè)算子的逼近度可以由許多方法得到，比如[5]中介紹的Mamedov-Shisha量化方法，Devore-Freud量化方法等等，但本文所給的證明方法更加簡(jiǎn)單、明了. 第四章，主要討論了正態(tài)分布型的Gauss-Weierstrass算子的一些逼近性質(zhì).首先給出了Gauss-Weierstrass算子關(guān)于數(shù)

8、學(xué)期望表達(dá)式，即Gn(f,x)=√n/π∫+∞-∞f(t)e-n(t-x)2dt=Ef(Zxn) 其中{Zxn：n∈N.x∈(-∞,+∞)}為服從參數(shù)為(x，1/2n)的正態(tài)分布的可積的隨機(jī)過(guò)程，其次我們利用這一表達(dá)式及概率的相關(guān)性質(zhì)得到Gn(f，x)關(guān)于一階連續(xù)模的逼近度，即｜Gn(f，x)-f(x)｜≤2ω(f，1/√2n)最后再利用上式進(jìn)一步討論了Gauss-Weierstrass算子在ψ-變差下的收斂速度，即1Vψ(Gn