隨機(jī)微分方程截?cái)郋uler-Maruyama方法的幾乎處處穩(wěn)定性法.pdf

1、全局Lipschitz條件下，隨機(jī)微分方程的數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性已經(jīng)得到了很好的研究，但實(shí)際上只有少部分隨機(jī)微分方程的系數(shù)都滿足全局Lipschitz條件，因此研究弱化全局Lipschitz條件下隨機(jī)微分方程的數(shù)值解是有必要的。2002年Highm，Mao和Stuart合作發(fā)表的在局部Lipschitz和線性增長條件下研究隨機(jī)微分方程數(shù)值解強(qiáng)收斂性的結(jié)果為研究非Lipschitz條件下隨機(jī)微分方程數(shù)值解開辟了一條新途徑。
　　

2、但是，線性增長條件仍然過于嚴(yán)格，當(dāng)隨機(jī)微分方程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)為超線性時，仍可能無法通過已有的數(shù)值格式對原問題進(jìn)行分析與求解。而且，有研究結(jié)果表明顯式Euler-Maruyama(EM)方法在處理超線性隨機(jī)微分方程的時候，不能保證其收斂性。隱式方法可以被看做處理這類問題的可行方案，但隱格式計(jì)算的復(fù)雜性和成本都較高，從計(jì)算復(fù)雜度、格式的簡單程度等幾個方面來看，顯式方法仍然具有優(yōu)勢。因此，近期較多成果著重于改進(jìn)經(jīng)典顯式EM方法來處理超線

3、性隨機(jī)微分方程以保證數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性，相應(yīng)的格式主要有馴服(tamed)EM方法， stopping EM方法以及截?cái)?truncated)EM方法等等，本文我們重點(diǎn)關(guān)注截?cái)郋M方法。
　　只有充分研究了數(shù)值格式的收斂性與穩(wěn)定性，該格式才是可用的。數(shù)值格式的收斂性是不可忽略的一個環(huán)節(jié)，毛學(xué)榮教授在2015和2016年兩篇關(guān)于截?cái)郋M方法的文章中相繼證明了其強(qiáng)收斂性以及估計(jì)出了其強(qiáng)收斂階。但是目前為止尚未有關(guān)截?cái)郋M方法穩(wěn)定