關于一類分數(shù)階拉普拉斯非自治方程層解的研究.pdf

1、本論文是研究一類帶分數(shù)階拉普拉斯算子的非自治橢圓方程的層解。分數(shù)階拉普拉斯算子是一類非局部橢圓算子，它出現(xiàn)在許多遠程或反常物理現(xiàn)象中。我們證明了這類非線性橢圓方程層解的存在性和解在無窮遠處的漸近估計，并且研究了當分數(shù)次數(shù)趨于1時層解的極限行為，由此我們還得到了一個經典的局部橢圓方程。
　　第一章闡述問題的研究背景和獲得的主要結論，一些文中將要用到的記號和基本定理以及全文的結構安排在這章將會給出。
　　第二章，我們研究非局部橢

2、圓方程(-△)su=b(x)f(u) x∈R，其中（-△）s(s∈(0，1))是分數(shù)階拉普拉斯算子，它是一個偽微分算子定義為（-△)su=Cn，sP.V.?Rxu(x)-u(y)/|x-y|n+2sdy,式中正常數(shù)Gn,s僅依賴空間維數(shù)n和分數(shù)次數(shù)s，縮寫P.V.代表奇積分是在柯西主值的意義下。函數(shù)b是一個正的周期函數(shù)，f是一般的Allen-Cahn型非線性項。這種橢圓算子的非局部特征需要我們小心對待帶這種“非局部”算子的方程的解。

3、r>　　在這章中，我們先考慮了特殊的情形:f是奇對稱性的、在區(qū)間(0，1)上非負，b具有偶對稱的特點。采用將非局部微分方程轉化為退化的局部橢圓方程，我們能用經典的局部橢圓方法來討論問題。但是這種轉化會增加一個空間變量，且我們要小心轉化后橢圓算子的退化性。對于我們給出的這種特殊情形，分別用了兩種完全不同的方法來獲得層解。
　　1.用古典的變分法，我們證明，對s≥1/2的情形，方程存在有層解，這是一個有界解取值范圍從負無窮遠處的-1變

4、換到正無窮遠處的1。為獲取層解在無窮遠處的極限值，我們在證明過程中用到了一個Liouville結論，該結論僅對s≥1/2是成立的，而s＜1/2沒有相應的結論。這也是為何這里我們僅對s≥1/2給出了層解存在結論的原因。顯然方程是個含空間變量x的非自治方程，對自治方程采用的滑動方法這里不能用，因而層解沒有單調性且不是唯一的。
　　2.借助于自治方程的層解，我們成功構造了非自治方程在區(qū)間(0，∞)上的上解和下解，并用單調內插方法證明了對

5、所有的s∈(0，1)，非自治方程層解的存在性。
　　第三章我們考慮更一般的非齊次項f和一般的周期擾動函數(shù)b，也就是，在這章f和b沒有對稱性假設。我們仍用變分法來構造層解，不同于第二章，這里考慮了帶Gagliardo半模的非局部能量泛函。通過對輔助函數(shù)復雜的能量估計，我們證實:若s＞1/2，局部極小化子的非局部能量是有限的，而s≤1/2時無限。對于前者，我們構造了不斷擴張的有限區(qū)間上的極小化子序列，并證明該序列存在子序列收斂到我們想