預(yù)條件算法及在電磁場(chǎng)數(shù)值模擬中的應(yīng)用.pdf

1、計(jì)算數(shù)學(xué)的應(yīng)用遍及當(dāng)前科學(xué)界的各個(gè)領(lǐng)域。在航空航天、生命科學(xué)、資源勘探、材料設(shè)計(jì)等等方面都發(fā)揮著重要的作用。利用現(xiàn)代高性能的計(jì)算機(jī)，從數(shù)學(xué)理論出發(fā)，建立事物的物理模型，經(jīng)過求解相應(yīng)的方程，得出最后的期望的結(jié)果。在這一系列的過程中，求解線性代數(shù)方程組的計(jì)算量常常占了整個(gè)計(jì)算過程的80％以上。若線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)又并非很好，則其迭代求解就更加困難。如何能夠準(zhǔn)確、快速的求解這些大規(guī)模的線性系統(tǒng)真正成了求解許多實(shí)際問題的當(dāng)務(wù)之急。大規(guī)模

2、線性系統(tǒng)求解的理論意義毋庸多言，實(shí)際價(jià)值更是顯而易見。本文基于此，對(duì)能夠加速迭代法收斂速率的預(yù)條件方法進(jìn)行了大量的研究，并針對(duì)一些有計(jì)算電磁學(xué)背景的問題，針對(duì)性的構(gòu)造了多種高效的預(yù)條件方法。
　　 正定線性系統(tǒng)的預(yù)條件迭代求解一直是許多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。而M-矩陣正是特殊的一類正定矩陣，根據(jù)M-矩陣一些特殊的性質(zhì)有針對(duì)性的構(gòu)造預(yù)條件方法更是令許多學(xué)者非常著迷。對(duì)有塊三對(duì)角結(jié)構(gòu)的M-矩陣，利用其塊結(jié)構(gòu)，進(jìn)行塊不完全LU分解是非常高效

3、的預(yù)條件方法之一。為了保證塊不完全分解的效率同時(shí)又保證分解因子的稀疏性，我們令分解因子保持類似ILU(k)的非零模式。同時(shí)根據(jù)M-矩陣的不完全分解方法可以構(gòu)造其一種正規(guī)分裂，從而從理論上也證明了預(yù)條件子的有效性。而為了一定程度上提高其預(yù)條件子構(gòu)造的可并行性，我們提出了一種重啟的方法，使得預(yù)條件子兼顧效率的同時(shí)，可以節(jié)省更多的構(gòu)造時(shí)間。針對(duì)二階橢圓方程的數(shù)值實(shí)驗(yàn)則進(jìn)一步的證明了其效率。
　　 對(duì)于用棱邊元方法離散麥克斯韋方程得到的

4、不定線性系統(tǒng)，根據(jù)離散矩陣的特點(diǎn)，利用其剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，我們給出了一類正定的預(yù)條件子。這類預(yù)條件子的構(gòu)造方法十分簡單，因其正定，求解也不難。針對(duì)這種正定的預(yù)條件子我們給出了其預(yù)條件之后線性系統(tǒng)的譜分布，并通過算例，進(jìn)一步顯示出其效用。
　　 矢量波動(dòng)方程在研究物體散射問題時(shí)常常被用到，利用棱邊元方法離散之后得到的通常是大型、稀疏、不定的復(fù)線性系統(tǒng)。在對(duì)這類線性系統(tǒng)進(jìn)行不完全分解預(yù)條件方法時(shí)常常會(huì)遇到預(yù)條件效果不好的挑戰(zhàn)，如何

5、提高不完全分解的加速效果十分重要。通過對(duì)系數(shù)矩陣的對(duì)角元進(jìn)行擾動(dòng)是提高其效率的一種非常有效的手段，結(jié)合擾動(dòng)技術(shù)與一種修改的不完全分解方法做為迭代求解的預(yù)條件子，對(duì)幾類模型問題的實(shí)驗(yàn)表明結(jié)合了擾動(dòng)技術(shù)的不完全分解方法對(duì)于迭代求解的加速效果十分明顯。
　　 有限元與矩量法是離散麥克斯韋方程的兩種重要手段。而混合有限元-矩量法更是充分利用了兩種方法的各自優(yōu)勢(shì)。針對(duì)利用混合法離散不同的問題得到的線性系統(tǒng)，我們提出了幾種不同的預(yù)條件方法。

6、對(duì)于利用混合法離散介質(zhì)體散射問題時(shí)，SOR預(yù)條件方法有著不俗的表現(xiàn)。我們也提出了幾種系數(shù)矩陣的近似矩陣做為預(yù)條件子，它們的表現(xiàn)也十分好，同SOR相比它們求解也更加簡單，而且效率也十分可觀。針對(duì)離散天線問題時(shí)，根據(jù)其系數(shù)矩陣2×2塊的結(jié)構(gòu)，研究了塊不完全分解與兩層預(yù)條件方法，對(duì)比給出了最適合求解的線性系統(tǒng)的形式，最后通過相應(yīng)的數(shù)值算例也證明了預(yù)條件技術(shù)的高效性。
　　 源于Helmholtz方程在電磁計(jì)算、聲波傳播、地球物理等等領(lǐng)

7、域的廣泛應(yīng)用，其預(yù)條件迭代求解方法的研究一直備受關(guān)注。算子預(yù)條件方法不同于從系數(shù)矩陣出發(fā)的那些經(jīng)典的預(yù)條件方法，它以模型的算子為根本，從物理意義出發(fā)，通過對(duì)算子進(jìn)行修改，得到一個(gè)近似算子做為其預(yù)條件子。與經(jīng)典的預(yù)條件方法相比，更容易從物理意義上解釋其有效性。我們根據(jù)其預(yù)條件算子，利用代數(shù)多重網(wǎng)格方法對(duì)Helmholtz方程的迭代求解進(jìn)行加速，實(shí)驗(yàn)表明對(duì)有阻尼的Helmholtz方程的求解，應(yīng)用了提出的預(yù)條件方法之后，其迭代步數(shù)幾乎不隨著