預條件算法及在電磁場數(shù)值模擬中的應用.pdf

1、計算數(shù)學的應用遍及當前科學界的各個領域。在航空航天、生命科學、資源勘探、材料設計等等方面都發(fā)揮著重要的作用。利用現(xiàn)代高性能的計算機，從數(shù)學理論出發(fā)，建立事物的物理模型，經(jīng)過求解相應的方程，得出最后的期望的結(jié)果。在這一系列的過程中，求解線性代數(shù)方程組的計算量常常占了整個計算過程的80％以上。若線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)又并非很好，則其迭代求解就更加困難。如何能夠準確、快速的求解這些大規(guī)模的線性系統(tǒng)真正成了求解許多實際問題的當務之急。大規(guī)模

2、線性系統(tǒng)求解的理論意義毋庸多言，實際價值更是顯而易見。本文基于此，對能夠加速迭代法收斂速率的預條件方法進行了大量的研究，并針對一些有計算電磁學背景的問題，針對性的構造了多種高效的預條件方法。
　　 正定線性系統(tǒng)的預條件迭代求解一直是許多學者研究的熱點。而M-矩陣正是特殊的一類正定矩陣，根據(jù)M-矩陣一些特殊的性質(zhì)有針對性的構造預條件方法更是令許多學者非常著迷。對有塊三對角結(jié)構的M-矩陣，利用其塊結(jié)構，進行塊不完全LU分解是非常高效

3、的預條件方法之一。為了保證塊不完全分解的效率同時又保證分解因子的稀疏性，我們令分解因子保持類似ILU(k)的非零模式。同時根據(jù)M-矩陣的不完全分解方法可以構造其一種正規(guī)分裂，從而從理論上也證明了預條件子的有效性。而為了一定程度上提高其預條件子構造的可并行性，我們提出了一種重啟的方法，使得預條件子兼顧效率的同時，可以節(jié)省更多的構造時間。針對二階橢圓方程的數(shù)值實驗則進一步的證明了其效率。
　　 對于用棱邊元方法離散麥克斯韋方程得到的

4、不定線性系統(tǒng)，根據(jù)離散矩陣的特點，利用其剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，我們給出了一類正定的預條件子。這類預條件子的構造方法十分簡單，因其正定，求解也不難。針對這種正定的預條件子我們給出了其預條件之后線性系統(tǒng)的譜分布，并通過算例，進一步顯示出其效用。
　　 矢量波動方程在研究物體散射問題時常常被用到，利用棱邊元方法離散之后得到的通常是大型、稀疏、不定的復線性系統(tǒng)。在對這類線性系統(tǒng)進行不完全分解預條件方法時常常會遇到預條件效果不好的挑戰(zhàn)，如何

5、提高不完全分解的加速效果十分重要。通過對系數(shù)矩陣的對角元進行擾動是提高其效率的一種非常有效的手段，結(jié)合擾動技術與一種修改的不完全分解方法做為迭代求解的預條件子，對幾類模型問題的實驗表明結(jié)合了擾動技術的不完全分解方法對于迭代求解的加速效果十分明顯。
　　 有限元與矩量法是離散麥克斯韋方程的兩種重要手段。而混合有限元-矩量法更是充分利用了兩種方法的各自優(yōu)勢。針對利用混合法離散不同的問題得到的線性系統(tǒng)，我們提出了幾種不同的預條件方法。

6、對于利用混合法離散介質(zhì)體散射問題時，SOR預條件方法有著不俗的表現(xiàn)。我們也提出了幾種系數(shù)矩陣的近似矩陣做為預條件子，它們的表現(xiàn)也十分好，同SOR相比它們求解也更加簡單，而且效率也十分可觀。針對離散天線問題時，根據(jù)其系數(shù)矩陣2×2塊的結(jié)構，研究了塊不完全分解與兩層預條件方法，對比給出了最適合求解的線性系統(tǒng)的形式，最后通過相應的數(shù)值算例也證明了預條件技術的高效性。
　　 源于Helmholtz方程在電磁計算、聲波傳播、地球物理等等領

7、域的廣泛應用，其預條件迭代求解方法的研究一直備受關注。算子預條件方法不同于從系數(shù)矩陣出發(fā)的那些經(jīng)典的預條件方法，它以模型的算子為根本，從物理意義出發(fā)，通過對算子進行修改，得到一個近似算子做為其預條件子。與經(jīng)典的預條件方法相比，更容易從物理意義上解釋其有效性。我們根據(jù)其預條件算子，利用代數(shù)多重網(wǎng)格方法對Helmholtz方程的迭代求解進行加速，實驗表明對有阻尼的Helmholtz方程的求解，應用了提出的預條件方法之后，其迭代步數(shù)幾乎不隨著