用邊界結(jié)點(diǎn)法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問(wèn)題.pdf

1、在科學(xué)和工程技術(shù)中，許多實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求解偏微分方程的反問(wèn)題。本文考慮對(duì)于橢圓型偏微分方程的定解問(wèn)題而言，給出的邊界條件不足的Cauchy型反問(wèn)題。
　　 用邊界元法來(lái)求解橢圓方程型方程的邊值問(wèn)題，需要已知足夠的邊界條件，否則問(wèn)題就是不適定的，會(huì)產(chǎn)生很大誤差，若采用邊界結(jié)點(diǎn)法則可以克服這種不適定性[46]。這里的邊界結(jié)點(diǎn)法是指除了在所研究的區(qū)域的邊界上分布結(jié)點(diǎn)外，還要通過(guò)在區(qū)域之外分布若干虛擬源點(diǎn)，在所研究的區(qū)域之內(nèi)選取若干內(nèi)點(diǎn)

2、，以此來(lái)求解未給出邊界條件的那部分邊界上結(jié)點(diǎn)的未知函數(shù)值。這種方法要通過(guò)選取合適的徑向基函數(shù)的線性組合來(lái)表示特解，再利用微分算子（Laplace算子、重調(diào)和算子等）的基本解形成滿足已知邊界條件的線性組合來(lái)表示問(wèn)題的通解，這樣的解適合整個(gè)邊界以及區(qū)域內(nèi)部。
　　 本文主要針對(duì)二維的非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy反問(wèn)題用邊界結(jié)點(diǎn)法求解，利用部分已知的邊界條件來(lái)推導(dǎo)解的線性組合的待定系數(shù)，從而得出適用于全部求解域的解的表達(dá)式。求待定系

3、數(shù)時(shí)，由于所選取的虛擬源點(diǎn)和邊界結(jié)點(diǎn)數(shù)目不匹配，因此我們將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最小二乘問(wèn)題；對(duì)于Cauchy問(wèn)題的不適定性，本文使用常用的正則化方法即奇異值分解法，來(lái)求解該最小二乘問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的病態(tài)線性方程組。
　　 本文的數(shù)值試驗(yàn)考察了邊界光滑和分片光滑的不同區(qū)域的情況，并對(duì)給出的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)以及有噪聲的數(shù)據(jù)所得到得結(jié)果進(jìn)行了分析，分析了幾個(gè)影響結(jié)果準(zhǔn)確度的參數(shù)。數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果表明了使用邊界結(jié)點(diǎn)法求解非齊次雙調(diào)和方程Cauchy問(wèn)題的有