Helmholtz方程Cauchy問題的數(shù)值求解及應(yīng)用.pdf

1、本文考慮Helmholtz方程Cauchy問題，也就是由外邊界上測量到的Cauchy數(shù)據(jù)來重構(gòu)內(nèi)邊界上的Cauchy數(shù)據(jù).利用Green表示定理可以把Cauchy問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)邊界積分方程.由于方程組的不適定性，需要運(yùn)用正則化技術(shù)進(jìn)行求解.本文首先運(yùn)用經(jīng)典的Tikhonov正則化方法求解，然后針對積分方程組的特點(diǎn)，構(gòu)造了一種新的擬Tikhonov正則化方法.該方法的優(yōu)點(diǎn)在于:一方面，通過求解一個(gè)正則化方程組可以同時(shí)得到Dirichlet

2、數(shù)據(jù)和Neumann數(shù)據(jù);另一方面，數(shù)值計(jì)算過程中相對于經(jīng)典的Tikhonov正則化方法需要更加少的計(jì)算量.在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，對于精確的數(shù)據(jù)和帶噪聲的測量數(shù)據(jù)，都得到令人滿意的數(shù)值結(jié)果.作為Helmholtz方程Cauchy問題數(shù)值方法的一個(gè)應(yīng)用，考慮逆散射中由散射波場的測量數(shù)據(jù)反演邊界阻尼系數(shù)的反問題.通過求解正問題模擬得到外邊界上的Cauchy數(shù)據(jù)，然后利用擬Tikhonov正則化方法反演內(nèi)邊界上的Cauchy數(shù)據(jù)，最后結(jié)合正則化方法來

3、反演邊界阻尼系數(shù).
　　本文的主要工作分為如下四部分.
　　第一章，首先介紹Helmholtz方程Cauchy問題以及阻尼系數(shù)反演的數(shù)學(xué)模型，其次說明已有的主要工作，最后介紹本文的工作.
　　第二章，主要介紹相關(guān)的預(yù)備知識，包括位勢理論以及正則化理論.
　　第三章，給出Helmholtz方程Cauchy問題的數(shù)值求解方法.首先把Cauchy問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程組，并證明了該方程組的唯一可解性;然后分別運(yùn)用經(jīng)典的