在多層無界區(qū)域中Helmholtz方程的數值解法及其應用.pdf

1、本文主要提出了一種在無界區(qū)域上求解Helmholtz方程的有效數值解法。 首先，研究無界區(qū)域上Helmholtz方程的區(qū)域有界化問題；以往在無界區(qū)域上求解Helmholtz方程的方法是設立假的邊界條件將無界的求解區(qū)域有界化，如設這些邊界條件為第一、第二或第三類邊界條件，這種做法只是將原方程求解粗糙地近似化，所以無論是對此近似問題進行精確求解還是離散方程后進行數值計算，解的偏差會變得很大，導致解的逼近效果變差。產生偏差的主要原因在

2、于這樣的邊界條件實際上并不符合無界區(qū)域中波傳播的特性(產生了較強的反射波)。基于此缺陷，J.P.Berenger于1994年提出了完美匹配層(PerfectlyMatchedLayer，簡稱PML)的概念，1997年FrancisCollino針對上述添加的PML，在數學上相當于對坐標做了一個復的伸展變換(＾x)=x+i∫x0σ(τ)dτ，把方程轉換為一個新的復方程，本文稱之為改進的復Helmholtz方程。 其次，在有界區(qū)域上

3、求解Helmholtz方程有許多直接的數值方法，如有限元和有限差分法等。但若用有限差分或者有限元方法來處理這樣一個水平區(qū)域很大的Helmholtz方程時，產生的線性系統(tǒng)的階數將非常的大，導致相當大的存貯空間，計算的代價也很高昂。同時這些系統(tǒng)常常也是不定的，或非對稱的，這就使得方程的求解更加困難。根據波導對區(qū)域水平距離依賴很弱的特性，本文采用在波的傳播計算中有效常用的步進方法，如One-way方法計算聲波的傳播。 最后，用步進方法

4、計算波的傳播問題將涉及方程的特征問題。曾有人做過界面是平坦的光波導的特征值問題，而本文研究的是在帶有彎曲界面的聲波導中的波傳播性態(tài)。首先選取適當的非線性坐標正交變換及方程變換將界面拉直，然后從數值角度出發(fā)，離散上述問題的特征方程相應的算子，得到一復矩陣；為求特征問題，利用Rayleigh迭代方法的具有局部收斂和快速收斂的特點，構造多重Rayleigh迭代算法，成功地求出此復矩陣的特征值與特征向量，為波的傳播計算提供了基礎。 結果