三次多項式微分系統(tǒng)的反射函數(shù).pdf

1、眾所周知，客觀世界中許多物體的運動可歸結(jié)為微分系統(tǒng)的形式，因此為了研究它們的運動規(guī)律只需要研究系統(tǒng)(*)解的性態(tài)．如果X(t+2ω，x)=X(t，x)(ω是正的常數(shù))，為了研究解的性態(tài)，我們借助文[7]介紹的Poincaré映射．但是對于一些不可積的系統(tǒng)來說，尋找Poincaré映射顯得很困難．在上個世紀八十年代，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家．Mironenko在文[9]中首先建立了反射函數(shù)的理論．它利用微分系統(tǒng)對幾個變量的對稱性，特別是時間變量的對稱

2、，把t換成-t，來研究解的性態(tài)．自此，有了一種較新的方法來研究系統(tǒng)(*)的性態(tài)。假設(shè)X(t，x)是定義在R×R<'n>上的連續(xù)可微函數(shù)，滿足解對初值的存在唯一性．x=j(t；t<,0>，x<,0>)是系統(tǒng)(*)一個解，且滿足x(t<,0>)=x<,0>，則系統(tǒng)的反射函數(shù)可定義為：F(t，x)=ψ(-t；t，x)．當系統(tǒng)(*)為2ω-周期系統(tǒng)時，它的Poincaré映射為：T(x)=F(-ω，x)，因此對于系統(tǒng)(*)的任意一定義在區(qū)間[-

3、ω，ω]上的解x(t)，它為2kω-周期解的充要條件：x:=x(-kω)是方程F(-kω，x)=x的解．借助反射函數(shù)來研究周期系統(tǒng)解的性態(tài)是一個嶄新的課題，有許多問題值得研究．本文主要研究了三次變系數(shù)多項式微分系統(tǒng)(其中 a<,i>(t)，b<,j>(t)為連續(xù)可微函數(shù)， t∈R) 的反射函數(shù)為F(t，x，y)=(x，F(xiàn)<,2>(r，x，y))<'T>時， F<,2>(t，x，y)的具體的表達式，并得出了F<,2>(t，x，y)=f<,

4、20>(t，x)+f<,21>(t，x)<,y>的好結(jié)果．應(yīng)用該結(jié)果，我們給出了該三次多項式微分系統(tǒng)具有形如F(t，x，y)=(x，f<,20>(t，x)+f<,21>(t，x)<'T>，的反射函數(shù)的充要條件，同時得出了，在該三次多項式微分系統(tǒng)為2ω-周期系統(tǒng)時的Poincaré映射及其周期解的性態(tài)．本文推廣了文獻[18][22]中有關(guān)二次多項式微分系統(tǒng)研究的相關(guān)結(jié)論．最后本文列舉了若干例子，驗證上述結(jié)論是正確的．相關(guān)結(jié)論在生物數(shù)學(xué)和控