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文檔簡介
1、眾所周知,客觀世界中許多物體的運動可歸結(jié)為微分系統(tǒng)的形式,因此為了研究它們的運動規(guī)律只需要研究系統(tǒng)(*)解的性態(tài).如果X(t+2ω,x)=X(t,x)(ω是正的常數(shù)),為了研究解的性態(tài),我們借助文[7]介紹的Poincaré映射.但是對于一些不可積的系統(tǒng)來說,尋找Poincaré映射顯得很困難.在上個世紀八十年代,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.Mironenko在文[9]中首先建立了反射函數(shù)的理論.它利用微分系統(tǒng)對幾個變量的對稱性,特別是時間變量的對稱
2、,把t換成-t,來研究解的性態(tài).自此,有了一種較新的方法來研究系統(tǒng)(*)的性態(tài)。假設(shè)X(t,x)是定義在R×R<'n>上的連續(xù)可微函數(shù),滿足解對初值的存在唯一性.x=j(t;t<,0>,x<,0>)是系統(tǒng)(*)一個解,且滿足x(t<,0>)=x<,0>,則系統(tǒng)的反射函數(shù)可定義為:F(t,x)=ψ(-t;t,x).當系統(tǒng)(*)為2ω-周期系統(tǒng)時,它的Poincaré映射為:T(x)=F(-ω,x),因此對于系統(tǒng)(*)的任意一定義在區(qū)間[-
3、ω,ω]上的解x(t),它為2kω-周期解的充要條件:x:=x(-kω)是方程F(-kω,x)=x的解.借助反射函數(shù)來研究周期系統(tǒng)解的性態(tài)是一個嶄新的課題,有許多問題值得研究.本文主要研究了三次變系數(shù)多項式微分系統(tǒng)(其中 a<,i>(t),b<,j>(t)為連續(xù)可微函數(shù), t∈R) 的反射函數(shù)為F(t,x,y)=(x,F(xiàn)<,2>(r,x,y))<'T>時, F<,2>(t,x,y)的具體的表達式,并得出了F<,2>(t,x,y)=f<,
4、20>(t,x)+f<,21>(t,x)<,y>的好結(jié)果.應(yīng)用該結(jié)果,我們給出了該三次多項式微分系統(tǒng)具有形如F(t,x,y)=(x,f<,20>(t,x)+f<,21>(t,x)<'T>,的反射函數(shù)的充要條件,同時得出了,在該三次多項式微分系統(tǒng)為2ω-周期系統(tǒng)時的Poincaré映射及其周期解的性態(tài).本文推廣了文獻[18][22]中有關(guān)二次多項式微分系統(tǒng)研究的相關(guān)結(jié)論.最后本文列舉了若干例子,驗證上述結(jié)論是正確的.相關(guān)結(jié)論在生物數(shù)學(xué)和控
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