2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、Boltzmann方程解的正則性研究在數(shù)學(xué)物理學(xué)科中是一個即有趣而又特別重要的課題,近年來不斷吸引著大量的科研工作者。研究的目的在于揭示單原子氣體中微粒分布函數(shù)的光滑性質(zhì)。在這一領(lǐng)域中,人們發(fā)現(xiàn),粒子之間通過彈性碰撞而產(chǎn)生的摩擦效應(yīng)會導(dǎo)致許多的數(shù)學(xué)分析方面的困難。為了避免這些困難,Boltzmann方程早期的大部分研究工作都是基于Grad截斷假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。然而,有研究表明,在Grad截斷假設(shè)條件成立的情況下,在某些加權(quán)Lp空間中方

2、程的解最多只能保持著與初值相同的正則性質(zhì)。另一方面,有一個事實是眾所周知的,就是考慮客觀的情形,如果沒有附加Grad截斷這一假設(shè)條件,那么Boltzmann算子類似于一個分?jǐn)?shù)形式的Laplace算子。因此在這個時候,人們有望通過運(yùn)用各種數(shù)學(xué)工具和方法技巧,證明出Boltzmann方程解的光滑性效應(yīng)。
   在研究無截斷Boltzmann方程解的Sobolev正則性方面,目前為止已經(jīng)有了不少先進(jìn)的科研成果,使得這一課題在空間齊次的

3、情況下較為滿意地得到了證實。我們將會在本論文的第2章中介紹我們在這一方面所做的工作,即考慮一個帶有Debye-Yukawa位勢且非Maxwellian類的模型,我們證明了齊次Boltzmann方程的弱解如果對于速度變量是Lipschitz連續(xù)的,那么這一弱解將屬于Sobolev空間H+∞loc(R3)。
   更進(jìn)一步,為了得到更高的正則性,第3章將致力于研究逆冪律位勢下空間齊次Boltzmann方程解的Gevrey類光滑性質(zhì)。

4、在第3章的第一節(jié)中,我們針對這一問題作一個簡單的介紹,并列舉出近年來Boltzmann以及其他相關(guān)方程在這方面的一些成果。緊接著,在第二節(jié)中我們考慮了相應(yīng)的非Maxwellian類情況下的線性化Cauchy問題。值得一提的是,Maxwellian類的情況已經(jīng)在文章[25]中得到了解決。在這里我們將使用另外一種新的方法來得到解在局部空間中的Gevrey正則性,并且不要求任何關(guān)于初值的Gevrey正則性假設(shè)。與[25]中的方法相比,這一方法

5、最大的特點(diǎn)是基于數(shù)學(xué)歸納,不僅僅要利用到抽象的擬微分算子,還有許多其他前沿的數(shù)學(xué)分析技巧,比如Cauchy積分定理等等。更重要的在于它能解決更復(fù)雜的諸如非Maxwellian類的情況,這是[25]中的方法所不能解決的。在第三節(jié)中我們同樣利用這一方法,進(jìn)一步在Maxwellian類和非Maxwellian類這兩種情況下,討論相應(yīng)的非線性Cauchy問題。加上一些合理的假設(shè)條件,我們同樣成功地得到了關(guān)于解的Gevrey正則性的肯定的答案。<

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