空間齊次的Fokker-Planck-Boltzmann方程.pdf

1、氣體動(dòng)力學(xué)是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的重要組成部分,而統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)就是對(duì)氣體的微觀狀態(tài)以及人們對(duì)其微觀狀態(tài)的觀測(cè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均,并用統(tǒng)計(jì)的方法處理問題.它認(rèn)為在任意給定的時(shí)刻一個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不確定的,人們只能給出該分子在某一狀態(tài)附近出現(xiàn)的概率.而Boltzmann方程就是概率密度所滿足的一類非線性微分積分方程,它刻畫了相對(duì)稀疏氣體的統(tǒng)計(jì)演化規(guī)律.早在1972年,L.Arkeryd就利用緊性和單調(diào)性方法在一定條件下證明了空間齊次Boltzm

2、ann方程整體解的存在性和唯一性<'[1]>隨后,有許多人對(duì)該方程做了大量的研究<'[2,3]>,然而比較完善的結(jié)果是由S.Mischer和B.Wennberg近期給出的<'[4]>.而對(duì)空間非齊次的Boltzmann方程,1988年,R.J.DiPerna和P.L.Lions考慮了具有Fokker-Planck型算子擾動(dòng)時(shí)的空間非齊次Boltzmann方程,證明了該方程的一種弱解(renormalized solution)的整體存在

3、性<'[5]>.2001年C.Cercignani,R.Illner和C.Stoica對(duì)定態(tài)的空間齊次Fokker-Planck-Boltzmann型方程進(jìn)行了研究<'[6]>,他們證明了在能量或熵有限時(shí)非零平衡態(tài)是不存在的.而本文研究的是非定態(tài)的空間齊次Fokker-Planck-Boltzmann方程(FPB),我們?cè)诮墙財(cái)嗟挠参粍?shì)情形下,利用算子半群理論和由L.Arkeryd發(fā)展的緊性方法證明了當(dāng)初始值屬于L<'1><,2>(R<

4、'3>)時(shí)該方程古典解的整體存在性,質(zhì)量和動(dòng)量守恒,并且建立了能量線性關(guān)系等式.我們思路是這樣的:先利用算子半群理論證明核有界時(shí)方程解的存在唯一性,緊接著對(duì)碰撞核進(jìn)行截?cái)?證明截?cái)喾匠探獾拇嬖谛?再利用緊性方法證明原方程溫和解的存在性,最后利用算子半群理論證明溫和解即是古典解.2002年,X.Lu和B.Wennberg在文章<'[7]>中指出,在沒有角截?cái)嗟挠参粍?shì)情形下,其弱解的能量是不減的,并且他們構(gòu)造出了能量隨時(shí)間連續(xù)增長(zhǎng)的解,而且