Boltzmann方程的粘性分析.pdf

1、Boltzmann方程是非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中最重要的模型之一。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，Boltz-mann方程是一個(gè)積分微分方程。方程的右端項(xiàng)-碰撞算子，在實(shí)際中(考慮三維空間)是一個(gè)五重積分。同時(shí)，碰撞算子只是對(duì)速度變量v作用，關(guān)于t，x是局部的，這就給方程帶來(lái)了某種程度上的退化。所以，不管從數(shù)值計(jì)算方面，還是從偏微分方程理論方面，Boltzmann方程的研究都是當(dāng)前數(shù)學(xué)所面臨的巨大挑戰(zhàn)之一。 對(duì)于均勻氣體的空間齊次Boltzmann方

2、程來(lái)說(shuō)，迄今已有了相對(duì)深入的研究和了解。當(dāng)然，這只是對(duì)剛勢(shì)作用而言，有關(guān)軟勢(shì)的研究仍然比較少。不管怎樣，對(duì)于空間非齊次Boltzmann方程，所得到的結(jié)果卻還是相當(dāng)缺乏的。關(guān)于完全Boltzmann方程的一個(gè)至今較滿意的結(jié)果，就是二十多年前由DiPema和Lions建立起來(lái)的重正規(guī)化理論。然而，重正規(guī)化解的唯一陛與可微性質(zhì)，仍然是一個(gè)開(kāi)問(wèn)題。二十多年來(lái)，人們對(duì)它做了不少的工作，對(duì)碰撞算子的性質(zhì)也有了更深入的了解。然而，要解決這個(gè)開(kāi)問(wèn)題，

3、也許需要新的工具和理論的出現(xiàn)。 關(guān)于Boltzmann方程解對(duì)初始值的穩(wěn)定性分析，已經(jīng)有了不少的結(jié)果[4，58，100].本文將從粘性分析的角度對(duì)Boltzmann方程進(jìn)行了穩(wěn)定性研究，據(jù)我們所知，這還是一個(gè)嶄新的領(lǐng)域。這里的粘性方程是通過(guò)增加關(guān)于速度v的Laplacian項(xiàng)ε△v得到的，這一項(xiàng)也稱為Fokker-Plank項(xiàng).從物理意義上來(lái)說(shuō)，這是由于分子的擴(kuò)散引起的。有趣的是，也許可以考慮關(guān)于x的Laplacian項(xiàng)進(jìn)行粘性

4、近似。但是，關(guān)于它的物理意義至今不清楚。本文得到的主要結(jié)果有二：一是對(duì)于角截?cái)嗫臻g齊次情形，包括Maxwell分子勢(shì)、剛勢(shì)碰撞，本文給出了粘性近似解與原方程的解之間的一個(gè)精確的近似估計(jì)。需要說(shuō)明的是，這些估計(jì)是依賴于時(shí)間的，這與粘性方程中粘性項(xiàng)的擴(kuò)散效果有關(guān)；二是對(duì)于空間非齊次Boltzmann方程的情形，本文在重正規(guī)化框架下研究了粘性近似解的漸近行為，得到了：當(dāng)粘性系數(shù)趨于0時(shí)，粘性近似重正規(guī)化解在L1中收斂于非齊次Boltzmann

5、方程的一個(gè)具有“虧損測(cè)度”的重正規(guī)化解。 本文第一章介紹了有關(guān)Boltzmann方程的一些基本知識(shí)，包括一些基本概念、Boltzmann的H-定理、基本的先驗(yàn)估計(jì)、碰撞算子的性質(zhì)。 第二章介紹了關(guān)于Boltzmann方程的一些重要的結(jié)果，包括空間齊次Boltzmann方程解的存在唯一性、矩的估計(jì)、解的正則性與奇異性的傳輸、趨向于平衡態(tài)的問(wèn)題，以及非齊次Boltzmann方程的重正規(guī)化理論和傳輸方程的速度平均理論。值得一提

6、的是，有關(guān)Boltzmann方程的結(jié)果很多，這里主要是關(guān)于Cauchy問(wèn)題的一些重要的結(jié)果，特別是關(guān)于具有角截?cái)鄤倓?shì)的情形。其它的結(jié)果可以參見(jiàn)后面的參考文獻(xiàn)。 第三章主要研究了具有角截?cái)郙axwell分子的粘性近似.利用基本解的表示，研究了粘性解(我們稱之為溫和解)的存在唯一性，并在C0意義下得到了粘性近似的精確估計(jì)。第四章研究了剛勢(shì)且具有角截?cái)嗟目臻g齊次Boltzmann方程的粘性近似。利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了粘