凸優(yōu)化問(wèn)題解集的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用.pdf

1、20世紀(jì)60年代以來(lái),凸優(yōu)化理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)、力學(xué)、以及其它科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.在本論文中,我們將主要研究凸優(yōu)化問(wèn)題解集的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用.本文內(nèi)容具體安排如下：第一章,我們簡(jiǎn)要回顧了該領(lǐng)域的研究工作,并對(duì)本文的工作做了簡(jiǎn)要概述,此外還介紹了本文用到的一些基本概念和引理.第二章,我們主要研究了自反Banach空間中凸標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題解集的穩(wěn)定性,在目標(biāo)映射和約束集同時(shí)擾動(dòng)的情況下,我們獲得了凸標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題解集在非空有界方面的一些

2、穩(wěn)定性結(jié)論.本章的主要結(jié)論如下：定理2.2.1設(shè)(Z1,d1),(Z2,d2)是兩個(gè)度量空間,u0∈Z1,v0∈Z2為任意給定的點(diǎn).設(shè)LZ1→2X為取非空閉凸值的連續(xù)集值映射,滿足int(barr(L(u0)))≠(？).假設(shè)存在(u0,v0)的一鄰域U×V和M=∪u∈U L(u),(？)f：M×V→2X*是非空的下半連續(xù)集值映射,其中(？)f(·,v)表示f(·,v)的次微分.對(duì)任意v∈V,fv(x)關(guān)于x在M上是真凸下半連續(xù)泛函,若

3、對(duì)任意d∈(L(u0))∞\{0}滿足fv0∞(d)>；0,則存在(u0,v0)的鄰域V′×V′,V′×V′(？)U×V,使得任意(u,v)∈U′×V′,對(duì)任意d∈(L(u))∞\{0},滿足fv∞(d)>；0.定理2.2.2設(shè)(Z1,d1),(Z2,d2)為度量空間,u0∈Z1,v0∈Z2為任意給定的點(diǎn).L：Z1→2X為取非空閉凸值的連續(xù)集值映射,滿足int(barr(L(u0)))≠(？).假設(shè)存在(u0,v0)的一鄰域U×

4、V和M=∪u∈U L(u),使得(？)f：M×V→2X*是非空的下半連續(xù)集值映射,其中(？)f(·,v)表示f(·,v)的次微分.f：M×V→R是強(qiáng)連續(xù)真凸泛函,若S(u0,v0)非空有界,則：(i)存在(u0,v0)的一個(gè)鄰域U′×V′,U′×V′(？)U×V,使得對(duì)任意(u,v)∈U′×V′,S(u,v)非空有界.(ⅱ)ω—lim sup(u,v)→(u0,v0)S(u,v)(？) S(u0,v0).第三章,我們主要利用凸優(yōu)化問(wèn)題解

5、集穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論來(lái)研究自反Banach空間中混合變分不等式解集的穩(wěn)定性.在映射和集合同時(shí)擾動(dòng)的情況下,我們獲得了混合變分不等式解集的一些穩(wěn)定性結(jié)論.在這個(gè)過(guò)程中,我們還得到了一些關(guān)于混合變分不等式解集非空性和有界性的等價(jià)條件.本章的主要結(jié)論如下：定理3.2.3設(shè)(Z1,d1),(Z2,d2)是兩個(gè)度量空間,u0∈Z1,v0∈Z2.設(shè)L：Z1→2X是一個(gè)非空閉凸值的連續(xù)集值映射,并且int(barr(L(uo)))≠(？).假設(shè)(u0,

6、v0)存在一鄰域U×V,令M=∪u∈U L(u),F：M×V→2X*是一個(gè)有非空解集的下半連續(xù)集值映射.次微分(？)(？)在M上取非空解集的下半連續(xù)集值映射,如果對(duì)(？)d∈(L(u0))∞\{0},存在y0*∈F(L(u0),v0)滿足〈y0*,d〉+(？)∞(d)>；0,那么(u0,v0)存在一鄰域U′×V′,其中U′×V′(？)U×V,對(duì)(？)(u,v)∈U′×V′,(？)d∈(L(u)∞\{0},存在y*∈F(L(u),v)

7、滿足(y*,d)+(？)∞(d)>；0.定理3.2.4設(shè)(Z1,d1),(Z2,d2)是兩個(gè)度量空間,u0∈Z1,v0∈Z2.設(shè)L：Z1→2X是一個(gè)有非空閉凸值的連續(xù)集值映射,并且int(barr(L(u0)))≠(？).假設(shè)(u0,v0)存在一鄰域U×V,令M=∪u∈UL(u),F：M×V→2Z*是下半連續(xù)且取非空緊凸值的集值映射,(？)在M上是強(qiáng)連續(xù)真凸函數(shù),次微分(？)(？)是M上取非空解集的下半連續(xù)集值映射,假如(i)F：M

8、×V→2X*是弱上半連續(xù)集值映射且對(duì)(？)v∈V,F(x,v)在M上偽單調(diào).(ii)GMV I(F(·,v0),L(u0))的解集非空有界.那么(i)(u0,v0)存在一鄰域U′×V′,其中U′×V′c U×V,對(duì)任意(u,v)∈U′×V′,GMVI(F(·,v),L(u))的解集非空有界.(ii)ω—lim sup(u,v)→(u0,v0)S(u,v)c S(u0,v0),其中S(u,v)是GMV I(F(·,u),L(u))的解集,

9、S(u0,v0)是GMVI(F(·,v0),L(u0))的解集.第四章,我們研究了在自反Banach空間中凸向量?jī)?yōu)化問(wèn)題解集穩(wěn)定性,即在目標(biāo)函數(shù)和約束集同時(shí)擾動(dòng)的情況下,弱有效解集在非空有界意義下的穩(wěn)定性分析.此外我們還把這些結(jié)果應(yīng)用到實(shí)自反Banach空間中向量變分不等式的研究.本章的主要結(jié)論如下：定理4.2.1若以下條件成立：(i)(？)fi：X×Z2→2X*(i=1,2,…,p)為取非空緊凸值的下半連續(xù)集值映射.(ii)L：Z1→

10、2x為取非空閉凸值的連續(xù)集值映射.(iii)對(duì)任意v∈Z2,fi(·,v)(i=1,2,…,p)在X上真凸下半連續(xù),并且存在x∈X使得x∈∩i=1p int(domfi(·,v)).(iv)存在(u0,v0)∈Z1×Z2使得Sw(u0,v0)非空有界.則存在(u0,v0)的鄰域U×V使得Sw(u,v)在U×V上非空.定理4.2.2若以下條件成立：(i)(？)fi：X×Z2→2X*(i=1,2,…,p)為取非空緊凸值的下半連續(xù)集值映射.(

11、ii)L：Z1→2X為取非空閉凸值的連續(xù)集值映射.(iii)對(duì)任意v∈Z2,fi(·,v)(i=1,2….,p)在X上真凸下半連續(xù),并且存在x∈X使得x∈∩i=1p int(domfi(·,v)).(iv)存在(u0,v0)∈Z1×Z2使得Sw(u0,v0)非空有界,Si(uo,v0)(i=1,2,…,p)非空,且Sw(u,v)=∪i=1p Si(u,v),(？)(u,v)∈Z1×Z2.則存在(u0,v0)的鄰域U×V使得Sw(u,v)