色散方程的一類高精度并行算法.pdf

1、色散方程作為重要的數(shù)學物理方程之一一直受到業(yè)內(nèi)人士的普遍關注，在非線性波及孤立子理論的物理問題中，也一直占有相當重要的位置.鑒于色散方程在物理領域重要的應用價值，人們已經(jīng)開始廣泛的關注其數(shù)值解法的研究，許多專家、學者在這方面也已經(jīng)做了不少作，例如文獻（[1-13]）其中，文獻（[4]）詳細討論了各種差分格式及其相應的穩(wěn)定性情況.這些差分格式可分為顯式格式和隱式格式兩大類。我們知道顯格式形式簡單并適于并行計算，但其穩(wěn)定性條件通常比較苛刻、

2、不易實現(xiàn).盡管人們在穩(wěn)定性條件方面做過一些改進（[7，8]），但是這些改進還是極其有限的。比如文獻（[5]）討論了一類兩參數(shù)的恒穩(wěn)顯格式，但是參數(shù)的選擇還是要滿足比較復雜的條件的。相對于顯格式而言，隱式格式雖然具有穩(wěn)定性好的優(yōu)點，然而它卻不能直接應用于并行計算。隨著信息時代的到來和計算機的蓬勃發(fā)展，并行計算以其快速解決大型且復雜的計算問題的特點迅速吸引了很多業(yè)內(nèi)人士的普遍關注（[10-37]），因此，怎樣找到一個穩(wěn)定的、適合并行計算的數(shù)

3、值求解方法，便成了相關研究人員亟待解決的重要問題. 關于交替分組算法的研究是隨著并行數(shù)值計算在計算機上的廣泛應用而逐步深入的，目前，兩類主要的并行算法就是：交替分組方法（[2，4，9-24]）和區(qū)域分裂算法（[38-49，63，64，66]）前者是無條件穩(wěn)定的，所以我們通?？梢圆捎帽容^大的時間步長，而后者是條件穩(wěn)定的，因此，在使用過程中，我們通常需要選取比較小的時間步長來進行計算.交替分組方法已成為行之有效的并行數(shù)值算法之一，它

4、不但是絕對穩(wěn)定的，而且還具有本質(zhì)并行的特性.例如，拋物方程的并行差分解法已經(jīng)在很多文獻中被廣泛研究（[15，23，25，63-67]），關于擴散方程和對流.擴散方程的并行差分算法的研究也已經(jīng)有了不少成果（[15-17，19-21]），近些年來，交替分組方法的研究和應用又逐漸擴展到了三階色散方程、KdV方程等領域（[1-13，22，50]） 不過，對于三階色散偏微分方程而言，這樣的并行差分算法并不多見. 早在1983年，E

5、vans和Abdullah首先提出了交替分組顯式算法（AGE）（[15，16]），后來，張寶林提出了交替分段顯隱算法（ASEI）（[19]）2000年以來，朱少紅又將交替分組顯式算法（AGE）推廣到了三階色散方程的求解過程中來（[11，12]）我們談到的這些算法都是無條件穩(wěn)定的，并且可以并行計算（隨著計算機的蓬勃發(fā)展，并行計算也越來越多的被人們關注），不過，這些算法在空間上的收斂階都只能接近2階. 眾所周知，提高數(shù)值解的精度也一

6、直是數(shù)值解法研究人員的一個重要的目標和努力方向（[50-62]），這也是我們在求解理論問題和實際應用問題過程中都不會改變的追求. 綜上所述，本文作者在導師的悉心指導和精心培育下，提出了一類求解具有周期邊界條件的色散方程的高精度、可并行、絕對穩(wěn)定的算法. 在論文的第一章，作者介紹了色散方程的高精度并行迭代法. 在論文的第二、三章中，我們將給出四類Saul’yev型非對稱差分格式來求解色散方程.基于這些Saul’ye

7、v型格式，我們又分別給出了求解帶周期邊界條件的色散方程的新的交替六點分組算法、新的高精度的交替顯隱算法、高精度交替十二點分組算法以及4階交替分段Crank-Nicolson算法.這四個新算法不僅具有無條件穩(wěn)定和能在計算機上實現(xiàn)并行計算的特點，而且它們在空間上都具有4階精度.通過數(shù)值算例，我們也容易看到，數(shù)值結(jié)果和理論分析是一致的。數(shù)值算例說明，新算法們在精度和穩(wěn)定性上都優(yōu)于算法AGE（[11]）和ASEI（[12]） 論文的部分

8、內(nèi)容已在國際國內(nèi)刊物上公開發(fā)表（[68-72]） 全文共分為三章： 第一章介紹色散方程的高精度并行迭代法. 本章導出了一種數(shù)值求解色散方程的高精度交替分組迭代格式，此格式收斂速度快并可以在并行計算機上直接應用. 本章內(nèi)容公開發(fā)表在（[71]） 第二章介紹色散方程基于6點差分格式的高精度并行算法. 在第一節(jié)中，我們介紹了色散方程的高精度交替6點分組算法. 本節(jié)，我們將給出一類Saul

9、’yev型非對稱差分格式來求解色散方程.基于這些Saul’yev型格式，我們給出了求解帶周期邊界條件的色散方程的新的交替六點分組算法.這個新算法不僅具有無條件穩(wěn)定和能在計算機上實現(xiàn)并行計算的特點，而且它在空間上具有4階精度.通過數(shù)值算例，我們也容易看到，數(shù)值結(jié)果和理論分析是一致的。數(shù)值算例說明，新算法在精度和穩(wěn)定性上都優(yōu)于算法AGE（[11]） 在第二節(jié)中，介紹了色散方程的一類新的高精度交替分組顯隱算法. 本節(jié)針對色散方

10、程提出的nAGEI新方法不但絕對穩(wěn)定、本質(zhì)并行，而且誤差分析和數(shù)值試驗表明，其數(shù)值解關于空間步長的收斂速度幾乎是4階的。通過與AGE（[11]）和ASEI（[12]）等方法的數(shù)值比較，我們?nèi)菀卓吹奖疚姆椒ù_實具有更高的精度.本節(jié)內(nèi)容已在《應用數(shù)學和力學》發(fā)表，請見[69]. 第三章介紹了色散方程基于12點差分格式的高精度并行算法. 在第一節(jié)中，我們介紹了色散方程的高精度交替12點分組算法. 近年來，隨著并行計算機

11、的發(fā)展，并行數(shù)值計算也越來越多的受到人們的關注和重視。像區(qū)域分裂算法一樣（[38-49，63，64，66]），交替分組方法也因其絕對穩(wěn)定、本質(zhì)并行的特點而日漸成為行之有效的并行數(shù)值方法之一.1983年，Evans首先提出了交替分組顯方法（AGE）（[15-16]），歷經(jīng)近20年的發(fā)展，交替分組算法的思想已經(jīng)被成功運用到求解擴散方程（[15-17，19-21]）、色散方程（[1-13]）以及Kdv（[22，50]）方程等方程中去.但是，在

12、已有交替分組方法材料中，它們的數(shù)值解在空間上都是有接近2階的收斂速度.我們在本節(jié)給出的新算法不僅仍然具有絕對穩(wěn)定、本質(zhì)并行的優(yōu)良特性，而且我們隨后的截斷誤差分析和數(shù)值算例將表明新算法的數(shù)值解在空間上具有接近4階的收斂速度.我們在數(shù)值算例中給出了本節(jié)算法與已有算法AGE（[11]）的數(shù)值比較. 在第二節(jié)中，我們介紹了色散方程的一類4階交替分段Crank-Nicolson算法. 在本節(jié)，我們將給出一個新的4階nASCN算法來

13、求解色散方程，這個算法不僅絕對穩(wěn)定，而且可以直接應用到并行計算中去.事實上，交替分組方法是隨著并行計算機的發(fā)展而蓬勃發(fā)展起來的。目前，兩類主要的并行算法就是：交替分組方法（[2，4，9-24]）和區(qū)域分裂算法（[38-49，63，64，66]）前者是無條件穩(wěn)定的，所以我們通?？梢圆捎帽容^大的時間步長，而后者是條件穩(wěn)定的，因此，在使用過程中，我們通常需要選取比較小的時間步長來進行計算.1983年，Evans率先提出了交替分組顯式計算方法（

14、AGE），此后，又有人提出了交替分組顯隱算法（ASEI）以及交替分段Crank-Nicolson（[19，20]）（ASCN）算法.近年來，我們也開始看到交替分組方法被應用到求解色散方程、Kdv方程等方程中.不過，在已看到的交替分組算法文獻中，幾乎所有算法的數(shù)值解在空間上都只能接近2階.新算法nASCN不僅格式無條件穩(wěn)定，而且還具有本質(zhì)并行的特點.此外，我們隨后的截斷誤差分析和數(shù)值試驗表明新算法可在空間上達到4階收斂，這比已知的AGE（