非線性偏微分方程多解計(jì)算大范圍收斂算法及其應(yīng)用研究.pdf

1、本文主要研究非線性偏微分方程多解計(jì)算的大范圍收斂性算法及其相關(guān)應(yīng)用。非線性偏微分方程解的多重性和不穩(wěn)定性，給計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和相關(guān)理論的研究帶來了諸多本質(zhì)的困難，尤其是直接針對(duì)非線性偏微分方程本身的具有大范圍收斂性的數(shù)值算法的研究尚處于起步階段。如何設(shè)計(jì)穩(wěn)定的數(shù)值算法去逼近不穩(wěn)定的解，同時(shí)減少非線性偏微分方程多解計(jì)算對(duì)初值的依賴性，從而實(shí)現(xiàn)大范圍收斂性，又保證每次所計(jì)算出來的解一定為新解，從而使得每次計(jì)算都有效。上述內(nèi)容都是非常重要且富有

2、挑戰(zhàn)性的科學(xué)問題。
　　文章主要包含兩部分內(nèi)容。首先第一部分內(nèi)容針對(duì)具有山路型變分結(jié)構(gòu)的一類非線性偏微分方程，首先介紹基于標(biāo)準(zhǔn)化非精確搜索準(zhǔn)則的局部極小極大方法(LMM)的基本概念和思想，并回答“最優(yōu)化理論中Goldstein線性搜索策略是否能夠推廣應(yīng)用到無限維Hilbert空間非線性偏微分方程多解的計(jì)算中”這一問題。文中借助能量泛函J的梯度與局部峰選擇p(v)的有界變差的關(guān)系給出標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則克服了標(biāo)準(zhǔn)

3、化Armijo搜索準(zhǔn)則在算法中需要人為設(shè)置一個(gè)最小迭代步長的缺陷。值得注意的是，在原來的LMM算法的可行性證明中，局部峰選擇p(v)滿足局部Lipschitz連續(xù)是一個(gè)非常重要的條件。本文將借助X.D.Yao在文獻(xiàn)[114]中定義的局部峰選擇p(v)所謂的“超線性”性質(zhì)將基于標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則和Armijo搜索準(zhǔn)則的LMM算法的可行性證明中，p(v)的局部Lipschitz連續(xù)性條件降低為連續(xù)即可，并給出了在這種較弱的假定

4、之下，上述兩個(gè)算法的全局收斂性。
　　第二部分的內(nèi)容討論旨在計(jì)算新解的增廣部分牛頓法(APNM)。通過已找的解的信息構(gòu)造合適的增廣奇異變換(AST)，再利用APN-M方法求解相應(yīng)的增廣奇異方程。該方法將迭代限制在一類廣義的Nehari流形M(G)內(nèi)進(jìn)行，打破了經(jīng)典Newton法的奇異線-局部場結(jié)構(gòu)和對(duì)稱不變性，這是區(qū)別于其他Newton型算法的最大亮點(diǎn)。值得指出的是，該算法不受變分結(jié)構(gòu)的限制，并保證了每次計(jì)算出來的解必定為新解，但

5、其核心是構(gòu)造合適的增廣奇異變換。在我們已有工作的基礎(chǔ)上[115]，本文將提出一類新的巧妙地增廣奇異變換(G)，其在形式上雖然只與文[115]中的增廣奇異變換G發(fā)生了看似細(xì)微的改變，但其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻發(fā)生了巨大變化。事實(shí)上，利用該新的增廣奇異變換(G)在計(jì)算新解時(shí)所需條件將大為減弱，且條件易于驗(yàn)證。此外上述利用新的增廣奇異變換(G)求新解的思想對(duì)于非齊次問題同樣適用，從而擴(kuò)大了APNM方法的應(yīng)用范圍。本部分內(nèi)容將給出基于這類新的增廣奇異變換(