作用在微分形式上的算子范數(shù)不等式及其應(yīng)用.pdf

1、微分形式作為研究當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具出現(xiàn)在偏微分方程、代數(shù)拓?fù)?、微分幾何等許多領(lǐng)域中.同時(shí)，微分形式的出現(xiàn)也為數(shù)學(xué)物理，包括量子場(chǎng)論、基本粒子物理等學(xué)科的研究方法帶來了革命性的變化.特別是近十幾年來，將微分形式看做函數(shù)的推廣，利用偏微分方程的研究手段對(duì)一類用算子表示的A-調(diào)和方程的研究進(jìn)展迅速.關(guān)于微分形式的A-調(diào)和方程中的算子A是滿足一定結(jié)構(gòu)條件的映射，一些熟悉的偏微分方程，諸如p-調(diào)和方程等都可以看作是A-調(diào)和方程的特例，因此具有

2、極大的研究?jī)r(jià)值.然而，對(duì)其相應(yīng)的算子理論的研究卻才剛剛起步.
　　本文主要研究在加權(quán)的Lp空間和Orlicz空間中微分形式在同倫算子T、Green算子G、位勢(shì)算子P、以及同倫算子與投影算子的復(fù)合算子ToH作用下的可積性問題，同時(shí)對(duì)A-調(diào)和方程的解給出了在這些算子作用下的加權(quán)積分不等式.本文的主要工作如下：
　　首先，在 R.P.Agarwal和S.Ding等人研究工作的基礎(chǔ)上，證明了在Lp(log L)α-空間中Green算

3、子的局部 Poincarē型不等式，進(jìn)而在更一般的測(cè)度空間上，對(duì)非齊次A-調(diào)和方程的解給出了關(guān)于Green算子的帶參數(shù)的局部加權(quán)不等式，并進(jìn)一步將這一結(jié)果發(fā)展到了Lφ(μ)-域上，得到了Green算子的全局加權(quán)Lp(log L)α-范數(shù)估計(jì).
　　其次，在一類更廣泛的測(cè)度空間中，對(duì)復(fù)合算子T?H建立了有界凸區(qū)域上的加權(quán)范數(shù)對(duì)比不等式，并對(duì)一類屬于函數(shù)類G(p, q,C)的Young函數(shù)，建立了在復(fù)合算子作用下的加權(quán)局部Orlicz

4、范數(shù)不等式及Lφ(μ)-平均域上的全局不等式.最后構(gòu)造了幾個(gè)屬于函數(shù)類G(p, q,C)的Young函數(shù)，進(jìn)而對(duì)A-調(diào)和方程的解給出了一些具體的估計(jì).
　　然后，考慮到同倫算子T在對(duì)微分形式的Lp理論的研究中所起到的關(guān)鍵作用，本文首先證明了關(guān)于同倫算子的加Ar權(quán)的局部Lp范數(shù)不等式，進(jìn)而將這一不等式發(fā)展到了全局，對(duì)n< p<∞的情況證明了同倫算子在加權(quán)Lp空間的有界性.接著建立了關(guān)于同倫算子的強(qiáng)(p, q)型不等式以及加冪型權(quán)的強(qiáng)