Orlicz空間理論在微分形式不等式中的應(yīng)用.pdf

1、微分形式作為一類具有反對稱性的張量場,是對多元函數(shù)的一種推廣。這類張量場在物理學(xué)、力學(xué)、工程科學(xué)及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如經(jīng)典分析中的梯度、散度與旋度以及Green、Gauss、Stokes等定理均可借助于微分形式統(tǒng)一表示出來。在函數(shù)中,調(diào)和方程作為一種特殊的偏微分方程,以勢函數(shù)的形式深刻地描述了物理中各種場的性質(zhì)。而微分形式中也有一類特殊的調(diào)和方程,即A-調(diào)和方程,它是許多經(jīng)典調(diào)和方程如p-調(diào)和方程和拉普拉斯方程等的推廣。正是由于微

2、分形式以及微分形式A-調(diào)和方程具有如此廣泛的應(yīng)用價值,引起了學(xué)者們極大的研究興趣。近十幾年來,關(guān)于作用在微分形式上算子的Lp-范數(shù)不等式取得了豐碩的成果。然而把作為對Lp-空間推廣的Orlicz空間中的基本理論應(yīng)用在微分形式不等式的研究卻仍然有待發(fā)展。
　　本文主要研究微分形式中幾類重要的算子如外微分算子d、同倫算子T、投影算子H、Green算子G以及位勢算子P組成的復(fù)合算子T°d°H、G°T、G°P與幾類特殊的Young函數(shù)有關(guān)

3、的積分和范數(shù)估計(jì)不等式。然后,又分別從這些積分和范數(shù)不等式獲得了其局部加權(quán)不等式和在Lp(μ)-平均域上的全局形式。最后,研究了本文中定義的作用在微分形式上的分次積分算子Fα在滿足特定的Orlicz條件(即Lα,-H¨ormander條件)下的相關(guān)不等式。具體來講,本文作了以下幾個方面的研究工作:
　　1.在畢卉定義的位勢算子P的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究了位勢算子P與Green算子G組成的復(fù)合算子G°P的Lp范數(shù)不等式及其局部賦權(quán)形式,

4、并由此給出算子G°P的各種Lipschtz范數(shù)和BMO范數(shù)不等式及其局部賦權(quán)形式?？紤]到Lp(logL)α-范數(shù)是比Lp范數(shù)更為復(fù)雜的一種具體的Orlicz范數(shù),我們又分別用兩種不同的方法研究了復(fù)合算子G°T的Lp(logL)α-范數(shù)不等式,并進(jìn)一步得到了其局部賦權(quán)形式及其在Lp(μ)-平均域上的全局形式。
　　2.研究了各種復(fù)合算子與兩類抽象的Young函數(shù)(即G(p,q,C)-類Young函數(shù)和?p-類Young函數(shù))有關(guān)的積

5、分和范數(shù)不等式。在研究復(fù)合算子T°d°H與G(p,q,C)-類Young函數(shù)有關(guān)的賦權(quán)的積分不等式時,充分利用了G(p,q,C)-類Young函數(shù)的性質(zhì)。而在研究復(fù)合算子G°P與G(p,q,C)-類Young函數(shù)有關(guān)的積分不等式時,不僅要利用G(p,q,C)-類Young函數(shù)的性質(zhì),還要用到分類討論與劃歸轉(zhuǎn)化的思想。在研究算子G°T與p-類Young函數(shù)有關(guān)的Lebesgue平均測度意義下的Orlicz的范數(shù)不等式時,利用了Orlicz

6、空間理論里的重要范數(shù)不等式。緊接著利用了Orlicz空間中的函數(shù)在倍權(quán)的Young函數(shù)作用下的Lebesgue平均測度積分與Orlicz范數(shù)存在某種比較關(guān)系,得到了算子G°T與p-類Young函數(shù)有關(guān)的Lebesgue平均測度積分不等式,并且利用了A-調(diào)和方程的特解進(jìn)行了數(shù)值估計(jì)以及獲得了在Lp(μ)-平均域上全局的形式。
　　3.定義了一種作用在微分形式上且其核函數(shù)滿足Sα-條件的分次積分算子Fα.在此基礎(chǔ)上,如果該算子還滿足特