微分形式及相關(guān)算子的加權(quán)積分不等式.pdf

1、本文主要研究齊次A-調(diào)和方程與共軛A-調(diào)和方程的解的性質(zhì).在回顧了有關(guān)A-調(diào)和方程的解的基本概念與主要結(jié)論的基礎(chǔ)上,證明了關(guān)于A-調(diào)和張量的加權(quán)積分不等式.同時給出一些重要算子的L<'p>-估計(jì),例如同倫算子T、Green算子G、Hodge上微分算子d<'*> 及Laplace-Beltrami算子△.本文主要工作總結(jié)如下:1.在T.Iwaniec,C.Nolder和S.Ding等人的研究工作基礎(chǔ)上,證明了滿足A-調(diào)和方程的微分形式的局

2、部及全局加權(quán)積分不等式的參數(shù)形式,包括Caccioppoli不等式與逆Holder不等式.這些結(jié)論是關(guān)于Sobolev函數(shù)的相應(yīng)不等式的推廣,其中的參數(shù)使得到的不等式更加靈活、適用.2.文中介紹了Green算子G與同倫算子T,它們是數(shù)學(xué)分支中的兩類重要算子.我們首先建立了作用在微分形式上的復(fù)合算子ToG的Sobolev嵌入不等式及Poincaré不等式,并將得到的結(jié)論推廣成關(guān)于A-調(diào)和張量的局部A<,r>(M)-加權(quán)形式.然后利用緊流形

3、的性質(zhì),得到了全局A<,r>(M)-加權(quán)積分不等式.3.共軛A-調(diào)和張量是共軛調(diào)和函數(shù)的自然推廣.文中首先建立了一對共軛A-調(diào)和張量之間的估計(jì)式,從而得到了關(guān)于Hodge上微分算子d<'*>與Green算子G的A<,r>(Ω)-加權(quán)Poincaré不等式及Sobolev嵌入定理.隨后,我們給出了作用于共軛A-調(diào)和張量的投影算子H的局部加權(quán)L<'p>-估計(jì),進(jìn)一步在John域上證明了關(guān)于投影算子H的全局加權(quán)估計(jì)式.上述結(jié)論為研究投影算子及

4、共軛A-調(diào)和方程的解的性質(zhì)提供了有效的研究工具.4.本文回顧了幾類雙權(quán)的定義,例如A<,r>,<,λ>(Ω)、A<,r>(λ,Ω)及A<,r><'λ>(Ω).進(jìn)而證-Ⅰ-明了關(guān)于A-調(diào)和方程的解的雙權(quán)積分不等式,如逆Holder不等式及Sobolev嵌入不等式,并將得到的結(jié)果應(yīng)用于R<'n>中的K-擬正則映射上.隨后相應(yīng)于不同的雙權(quán),我們給出了關(guān)于復(fù)合算子ToG的局部L<'p>-估計(jì)的雙權(quán)形式,最后在緊流形上給出了ToG全局加權(quán)積分估計(jì)