變系數(shù)橢圓型微分方程邊值問題的變分不等式研究.pdf

1、工程實(shí)際中的許多問題均可轉(zhuǎn)化為橢圓型微分方程邊值問題。近幾年發(fā)展起來的變分不等式方法為此類問題的求解提供了統(tǒng)一的框架和有力的工具，它將所有的邊界條件和接觸條件歸納到一個(gè)變分不等式中，更加便于理論分析。變分不等式的數(shù)值解法主要有有限差分法、有限元法和邊界元法。國內(nèi)外關(guān)于求解橢圓型微分方程邊值問題數(shù)值方法的研究很多，但大多是針對常系數(shù)的微分方程問題進(jìn)行的，對變系數(shù)問題的討論很少。
　　論文首先研究了利用Laplace方程的基本解求解二

2、維非齊次Helmholtz方程邊值問題的邊界元法，然后討論了含變系數(shù)的橢圓型微分方程邊值問題，通過將其轉(zhuǎn)化為變分不等式問題進(jìn)行研究，證明了其解的存在唯一性，并利用有限元法離散變分不等式，研究了解的穩(wěn)定性及誤差估計(jì)。
　　論文共分為五章。第一章主要概述了變分不等式、有限元法和有限元法求解橢圓型變分不等式的現(xiàn)狀，介紹了目前國內(nèi)外學(xué)者的研究動(dòng)態(tài)。
　　第二章在 Sobolev空間中給出了一整套理論基礎(chǔ)，如邊值問題的變分原理、廣義導(dǎo)

3、數(shù)、Lax-Milgram定理、嵌入定理與跡定理、等價(jià)模定理、有限元離散的相關(guān)知識等。
　　第三章以有廣泛應(yīng)用背景的Helmholtz方程為研究對象，給出了其邊界元數(shù)值解法。內(nèi)容展現(xiàn)了應(yīng)用邊界元法數(shù)值求解實(shí)際問題的一般過程。最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的可行性。
　　第四章討論了與變系數(shù)橢圓型微分方程邊值問題相等價(jià)的變分不等式問題，證明了解的存在唯一性。最后對該變分不等式中的不可微項(xiàng)采用正則化處理，利用可微函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為了變分