自相似集的Lipschitz等價(jià)和高維Frobenius問(wèn)題.pdf

1、自相似集的Lipschitz等價(jià)問(wèn)題，是幾何測(cè)度論和分形幾何中的重要問(wèn)題。此問(wèn)題肇始于著名數(shù)學(xué)家K.Falconer[7，8]，G.David和S.Semmes[3]在20世紀(jì)90年代的系列工作。在最近十年，這方面的研究十分活躍，取得了很多重要進(jìn)展。
　　本論文研究的核心問(wèn)題是強(qiáng)分離自相似集的Lipschitz等價(jià)性（又稱Falconer-Marsh問(wèn)題）。在這個(gè)問(wèn)題上，已經(jīng)積累了許多方法和技巧，如代數(shù)不變量[8]，雙Lipsch

2、itz函數(shù)的保測(cè)性[25]，可匹配條件[15]和環(huán)方法[28].
　　我們的第一個(gè)工作是，引入并研究了高維Frobenius問(wèn)題。經(jīng)典的Frobenius問(wèn)題是研究給定m個(gè)互素的正整數(shù)a1，…，am，找出不能表示成a1,…，am的非負(fù)整線性組合的最大整數(shù)，顯然，這取決于半群a1N+…+amN的結(jié)構(gòu)。我們把a(bǔ)1，…，am換成R8中的整向量X1,…，Xm（但要求它們位于某個(gè)半空間中），研究半群X1N+…+XmN的結(jié)構(gòu)。首先，我們提出飽

3、和錐的概念，證明了其存在性，并給出了高維Frobenius問(wèn)題的表述;其次，我們引入了方向增長(zhǎng)函數(shù)，在X1,…，Xm共面時(shí)，我們利用條件熵給出方向增長(zhǎng)函數(shù)的計(jì)算公式;最后，在共面條件下，我們證明了下述“剛性”結(jié)果:X1,…，Xm可由方向增長(zhǎng)函數(shù)唯一確定。
　　我們的第二個(gè)工作是把上述研究應(yīng)用于自相似集Lipschitz等價(jià)的研究。對(duì)于每個(gè)自相似集，我們可以聯(lián)系一個(gè)高維Frobenius問(wèn)題，從而聯(lián)系了一個(gè)方向增長(zhǎng)函數(shù)。首先，我們證