非線性波動方程非齊次問題長時間存在性及其應(yīng)用.pdf

1、在本文中，我們將討論非線性波動方程非齊次問題小初值經(jīng)典解的長時間存在性.首先我們利用壓縮映像原理和廣義能量積分證明了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性，并借助波動算子的平移不變性、空間旋轉(zhuǎn)不變性和伸縮不變性，通過連續(xù)性討論，證明了三維空間中含非齊次項擬線性波動方程柯西問題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和三維空間中具有零形式擬線性波動方程組星形區(qū)域非齊次邊界外問題經(jīng)典解的整體存在性.利用類似的思想，我們還得到了受外力各向同性超彈性體經(jīng)典解的幾乎整體存在性及當

2、非線性項滿足零條件時系統(tǒng)的經(jīng)典解當時間趨于無窮大時會收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.其次，我們證明了三次半線性波動方程(Klein-Gordon方程)經(jīng)典解的指數(shù)階能穩(wěn)，利用該結(jié)論和構(gòu)造性方法，還得到了系統(tǒng)在一般區(qū)域上的全局精確邊界能控性，特別地當區(qū)域為星形附加區(qū)域時，所得到的邊界控制函數(shù)只需作用在邊界的一個相對開子集上.我們的證明方法適用于只要非線性項滿足“好符號”增長條件的一般情形。
　　此外，在附錄一，我們借助Morawetz乘子建立了

3、兩維空間中擾動線性波動方程的Morawetz能量估計和提升的Morawetz能量估計，利用表現(xiàn)空間方向衰減的帶權(quán)Sobolev不等式，在只使用波動算子的平移不變性和空間旋轉(zhuǎn)不變性的情況下，得到了兩維非線性波動方程星形區(qū)域外問題經(jīng)典解的生命跨度的下界估計，這填補了兩維非線性波動外問題的空白.在附錄二，我們結(jié)合Klainerman-Sideris途徑和Alinhac所引入的能表現(xiàn)好導(dǎo)數(shù)比一般導(dǎo)數(shù)具有更好性質(zhì)的提高的能量估計，證明了兩維擬線性

4、波動方程組多波速幾乎對角系統(tǒng)，當非線性項滿足第一零條件、不滿足第二零條件時經(jīng)典解幾乎整體存在；當非線性項同時滿足第一、第二零條件時經(jīng)典解整體存在。
　　本文的具體組織如下：
　　在第一章中，我們介紹非線性波動方程齊次問題的研究歷史，并對全文的內(nèi)容做了個簡單的概述。
　　在第二、第三章中，我們分別得到了三維空間中含作齊次項擬線性波動方程柯西問題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和具有零形式擬線性波動方程組星形區(qū)域非齊次邊界外問題經(jīng)典

5、解的整體存在性。
　　在第四章中，我們研究了受外力各向同性超彈性體柯西問題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和整體存在性。
　　在第五章中，我們得到了三次半線性波動方程和三次半線性Klein-Gordon方程在一般區(qū)域上的全局精確邊界能控性，特別地當區(qū)域為星形附加區(qū)域時，我們得到了邊界控制函數(shù)只需作用在邊界的一個相對開子集上。
　　在附錄一，我們得到了兩維空間中的非線性波動方程星形區(qū)域外問題經(jīng)典解的生命跨度的下界估計.在附錄二，我