Z-,n-[ω]與形式三角矩陣環(huán)的零因子圖.pdf

1、環(huán)論與圖論是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)非常重要的分支，它們不僅內(nèi)涵豐富，而且在許多其它數(shù)學(xué)分支(如組合數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、自動(dòng)機(jī)理論以及編碼理論等)中也有重要應(yīng)用。環(huán)的零因子圖，主要是使用圖性質(zhì)研究代數(shù)系統(tǒng)，它提供了一種研究數(shù)學(xué)問題的新方法。環(huán)(或群)的零因子圖是最近二十年來才產(chǎn)生的一個(gè)新型研究領(lǐng)域，引發(fā)出了很多有趣的結(jié)果和問題。近十年來，它已成為國(guó)際上的一個(gè)熱門研究領(lǐng)域。 Z[I]和Z[ω] 是抽象代數(shù)中環(huán)論的兩個(gè)重要的環(huán)，常被作為例子散見于各類

2、抽象代數(shù)教材及論文中，本文討論了代數(shù)整數(shù)環(huán)Z[ω]的模n 剩余類環(huán)Zn [ω]的零因子集合、單位乘群、素譜以及JZa[ω]/J的局部環(huán)直和分解，并在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了Zn [ω]的零因子圖的直徑、平面性及圍長(zhǎng)；本文還討論了形式三角矩陣環(huán)的無向零因子圖的直徑，并簡(jiǎn)要地研究了任意含幺交換環(huán)上二階上三角矩陣環(huán)的零因子圖。 第一章介紹了環(huán)的零因子圖的發(fā)展歷史，本文的研究背景，理論來源和研究意義。并給出了本文所用到的一些基本概念與符

3、號(hào)。 第二章主要討論了代數(shù)整數(shù)環(huán)Z[ω]的模n 剩余類環(huán)Zn [ω]的零因子集合、單位乘群、素譜以及Za[ω]/J的局部環(huán)直和分解(定理2.2.3，定理2.2.4)，這些結(jié)果對(duì)我們后面的研究是非常有用的。 第三章主要是探討有限含幺交換環(huán)的零因子圖的若干圖論性質(zhì)，從而直觀的反映環(huán)的零因子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在第二章的基礎(chǔ)上，討論了有限交換環(huán)Zn [ω]的零因子圖的直徑(定理3.1.2)、平面性(定理3.2.4)與圍長(zhǎng)(定理3.3.

4、2)，本章的主要結(jié)果即將在湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)2009年第2期發(fā)表。 第四章主要討論一類非交換環(huán)即形式三角矩陣環(huán)的無向零因子圖。形式三角矩陣環(huán)是一類非常重要的非交換環(huán)，在環(huán)論的許多教材及文獻(xiàn)中，它經(jīng)常被作為反例出現(xiàn)。本章第一節(jié)中，在M為R 無擾模的條件下，給出了形式三角矩陣環(huán)的零因子集合；本章第二節(jié)，對(duì)形式三角矩陣環(huán)的無向零因子圖的直徑做了一些探討(定理4.2.4，定理4.2.6，定理4.2.9)，定理4.2.4 證明了任意形式三角

5、矩陣環(huán)的零因子圖直徑只能為2 或3；緊接著，定理4.2.6 在M為R 無擾模的條件下，給出了任意形式三角矩陣環(huán)的零因子圖直徑為2的一個(gè)必要條件，而定理4.2.9 則在某一前提下，提供了形式三角矩陣環(huán)的無向零因子圖直徑為2的一個(gè)充要條件，這三個(gè)定理對(duì)于形式三角矩陣環(huán)的零因子圖的研究是非常有意義的。在這一章的最后一節(jié)中，利用本章前兩節(jié)的結(jié)論討論了任意含幺交換環(huán)上二階上三角矩陣環(huán)的無向零因子圖的直徑(命題4.3.2-命題4.3.6)，得到了本