非線性發(fā)展方程求解法的研究與數(shù)學機械化實現(xiàn).pdf

1、本文根據(jù)數(shù)學機械化思想，以計算機符號和數(shù)值計算軟件為工具，研究了孤立子理論中若干重要的非線性發(fā)展方程的求解方法及其相關問題，提出和發(fā)展了一系列求非線性發(fā)展方程解的方法，并在計算系統(tǒng) Maple 或 MATLAB 上予以機械化實現(xiàn)。將數(shù)學機械化方法應用于相關學科，開發(fā)了數(shù)學機械化軟件平臺。主要的工作如下： 第一章介紹了孤立子理論和非線性發(fā)展方程求解理論及其數(shù)學機械化研究的歷史發(fā)展和現(xiàn)狀．同時介紹了一些關于這些學科的國內(nèi)外學者所取得

2、的成果。 第二章介紹了構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解的“AC=BD”模式和構(gòu)造“C-D”對的算法，利用 Maple和“AC = BD+R”帶余除法構(gòu)造精確解的具體算法。 第三章基于將非線性發(fā)展方程求解統(tǒng)一化，算法化，機械化的思想，運用吳方法和符號計算的工具，建立了廣義雙曲函數(shù)的理論，提出了求非線性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解和研究解的長時間行態(tài)及其相關問題的一系列方法。主要內(nèi)容如下： (1)給出廣義雙曲函數(shù)的定義和代數(shù)與微

3、分性質(zhì)及其證明，構(gòu)造非線性發(fā)展方程解的廣義雙曲函數(shù)變換的定義和一些具體形式。 (2)提出了廣義雙曲函數(shù)-Backlund 變換方法，將其應用于解非線性發(fā)展方程組，求出了許多新的更一般的精確解。用計算機數(shù)值模擬方法研究了一些解的長時間的行態(tài)，結(jié)果表明這些新解具有良好的長時間的穩(wěn)定性。 (3)提出了劃分非線性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解的長時間行態(tài)的三段法，并將其應用于研究一些非線性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解的長時間穩(wěn)定性，檢驗該

4、方法的有效性。另外，還分別提出了修正廣義雙曲函數(shù)解和變系數(shù)解的長時間行態(tài)的方法。 (4)根據(jù)WTC方法和齊次平衡法構(gòu)造 Backlund 變換的方法的思想，提出了一種構(gòu)造 Backlund變換的方法及其機械化算法，并將該方法應用于構(gòu)造一些高階高維的非線性發(fā)展方程的 Backlund 變換，檢驗了有效性和可靠性。另外，還提出了與該方法相關的定理，并給出了證明。 (5)利用計算機數(shù)值模擬方法，廣泛地研究了非線性發(fā)展方程的廣義

5、雙陷函數(shù)解中的三個參數(shù)的不同取值對該解的局部性質(zhì)和長時間行態(tài)的影響，一個非線性發(fā)展方程在同一種自 -Backlund 變換下，取不同類型的種子解對該發(fā)展方程解的個數(shù)和解的形式的影響，不同類型的種子解對解的主部的影響，各種類型的廣義雙曲函數(shù)解的長時間行態(tài)，不同類型的非行波解和行波解的長時間行態(tài)的比較等問題，有一些新的發(fā)現(xiàn)，提出四個猜測。 第四章以符號計算軟件 Maple 為工具，發(fā)展了構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解的改進的 F- 展開法

6、和推廣的射影 -Riccati 方程法，提出了如下方法及其定理： (1)構(gòu)造了廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程，提出了有關廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程具有新的更一般的廣義雙曲函數(shù)解的定理、廣義的射影 Riccati 方程和射影 Riccati 方程是廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程的特例的定理，并且用 Maple 機械化方法給出了這兩個定理的證明。 (2)利用廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程，提出了廣

7、義雙曲函數(shù) -Riccati 方法，并用該方法求出了非線性發(fā)展方程的新的更一般形式的解。 (3)通過構(gòu)造兩類更一般的變換，提出了廣義 F- 展開法和擴展的廣義 F- 展開法。并將這些方法分別應用到一些非線性發(fā)展方程，結(jié)果成功地獲得了這些方程的許多新的更一般的精確解。 第五章構(gòu)造更一般的變換，給出類 N 孤子解的定義和猜測 5，發(fā)展了 Exp- 函數(shù)方法，提出了Exp-Backlund 變換方法和 Exp- 類 N 孤子方

8、法。利用這兩種新方法獲得了一些非線性發(fā)展方程的包含行波解和非行波解的更一般形式的精確解，并用計算機數(shù)值模擬方法研究了這類解的長時間行態(tài)。 第六章發(fā)展了求非線性發(fā)展方程的行波解的代數(shù)方法，提出了如下方法及其相關的定理： (1)提出了一般形式的變換和相關定理，然后用Maple機械化方法證明了該定理。 (2)提出了求一階任意次非線性常微分方程的精確解的機械化算法及其 Maple 程序，通過求六、八、十、十二次非線性常微

9、分方程的某些一般形式的新的精確解，驗證了該方法的有效性和可靠性。 (3)利用一階任意次非線性常微分方程及其新的精確解，提出了廣義的代數(shù)方法和擴展的廣義的代數(shù)方法，并將它們分別應用到一些非線性發(fā)展方程，結(jié)果得到許多新的行波解和非行波解。 第七章改進了一些數(shù)值算法，提出了一類求非線性發(fā)展方程解的數(shù)值與解析混合運算的方法，求解常微分方程初值問題的改進的亞當斯方法等，提高了數(shù)值計算精度，并算法實現(xiàn)了機械化。另外，還提出了數(shù)值解、