積分方程求解及一類機械化算法研究.pdf

1、積分方程是繼微分方程之后出現(xiàn)的一個新的近代數(shù)學的重要分支,也是科學研究和解決工程技術問題的重要工具之一,具有廣泛的應用.方程求解是積分方程研究的熱點和難點之一。本文在前人研究的基礎上,利用吳文俊院士所倡導的“數(shù)學機械化”的思想和方法研究了積分方程求解以及機械化算法等問題.主要工作包括如下幾個部分： 第一章,簡要綜述了積分方程研究簡史、積分方程求解方法、數(shù)學機械化及其應用等,在此基礎上探討了運用數(shù)學機械化思想和方法求解積分方程的必

2、要性與可行性. 第二章,研究了Fredholm積分方程及其方程組的豫解核求解法,在此基礎上,建立了基于國際通用計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple平臺的機械化算法,利用這些算法求解Fredholm積分方程時,所要做的全部事情就是輸入描述方程的信息,然后機械化算法將給出所求方程的解析解.特別地,在機械化求解的算法設計中,為了增加求解過程的邏輯性和理解度,設計了可讀性求解過程輸出,使得機械化求解結果與我們用紙和筆求解方程時的過程幾乎足一樣的.

3、 第三章,研究了Volterra積分方程的Neumann級數(shù)與Taylor級數(shù)求解法,以及求解Volterra積分方程組的迭代法,在此基礎上,在Maple平臺上建立了相應的機械化算法,利用這些算法獲得了此類積分方程(組)的解析解或者近似解.特別是在利用Neumann級數(shù)法求解Volterra積分方程的過程中,將得到的有限迭代核序列kN(s,t)(N=1,2,…,10)“分解”為若干個部分,對每一部分逐一運用數(shù)學歸納法,最后再按照原

4、來“分解”的邏輯順序合并在一起,從而獲取了迭代核的通項公式kn(s,t),對此無窮求和獲得了該類積分方程的解析解,也就是探論了利用有限項結果通過數(shù)學歸納法得到通項公式并最終得到解析解的自動化推理問題。 第四章,研究了高階非線性Volterra-Fredholm積分-微分方程的Taylor多項式解的算法,在此基礎上,建立了基于Maple平臺的機械化算法,利用該算法獲得了此類積分-微分方程的Taylor多項式解或解析解.在此基礎上,