Schrodinger-Maxwell系統(tǒng)和Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)解的存在性.pdf

1、在本文中，我們首先研究下面的齊次Schr(o)dingcr-Maxwcll方程：{-△u+V(x)u+φu=f(x，u)，x∈R3，-△φ=u2，x∈R3.(0-1)我們做如下的假設(shè)：
　　 (v1)V∈C(R3，R)滿足infx∈R3V(x)≥a1＞0，這里a1＞0是一個(gè)常數(shù).更進(jìn)一步地，對(duì)每個(gè)M＞0，meas({x∈R3：V(x)≤M})＜∞，這里meas表示R3中的Lebesgue測(cè)度；
　　 (f1)f∈C(R3

2、×R，R)且，對(duì)常數(shù)2＜p＜2*=6，a2＞0，有|f(x，z)|≤a2(1+|z|p-1)，對(duì)幾乎處處的x∈R3和所有的z∈R成立；
　　 (f2)存在μ＞4使得μF(x,z)：=μ∫z0f(x,y)dy≤zf(x,z)，對(duì)任何x∈R3和z∈R成立；
　　 (f3)當(dāng)z→0時(shí)f(x，z)/z→0，對(duì)x∈R3一致成立；
　　 (f4)infx∈R3,|z|=1F(x，z)＞0；
　　 (f5)對(duì)任何x∈R

3、3和z∈R，有f(x，-z)=-f(x，z).運(yùn)用噴泉定理我們得到如下的兩個(gè)結(jié)果：
　　 定理2.1假設(shè)(v1)，(f1)-(f5)成立，則在空間H1(R3)×D1，2(R3)中系統(tǒng)(0-1)有無(wú)窮多個(gè)解{(uk，φk)}，并目這些解滿足1/2∫R3(|▽uk|2+V(x)u2k)dx-1/4∫R3|▽?duì)誯|2dx+1/2∫R3φku2kdx-∫R3F(x，uk)dx→+∞.(0-2)定理2.2考慮具有參數(shù)的系統(tǒng)(0-1)，具體

4、形如{-△u+V(x)u+λφu=f(x，u)，x∈R3，-△φ=u2，x∈R3.(0-3)假設(shè)(v1)，(f1)-(f5)成立，并且條件(f2)中μ=4，則只要當(dāng)λ＞0足夠小，系統(tǒng)(0-3)在H1(R3)×D1，2(R3)中有無(wú)窮多個(gè)滿足(0-2)的解{(uk，φk)}.
　　 接下來(lái)我們考慮下面的具有臨界指數(shù)的齊次Schr(o)dinger-Maxwell方程：{-△u+V(x)u+φu=K(x)|u|2*-2u+Q(x)|

5、u|q-2u，x∈R3，-△φ=u2，x∈R3，(0-4)這里q∈(4，6).我們的假設(shè)如下：
　　 (v2)V：R3→R是一個(gè)可測(cè)函數(shù)滿足V∞=lim|y|→∞V(y)≥V(x)≥0，對(duì)幾乎處處的x∈R3成立，并且該不等式在一個(gè)非零測(cè)度的區(qū)域上嚴(yán)格成立；
　　 (v3)存在常數(shù)C1＞0使得對(duì)任何u∈H1(R3)有，∫R3(|▽u|2+V(x)u2)dx≥C1||u||2H1;
　　 (k1)K∈C(R3，R)，

6、lim|x|→∞K(x)=K∞∈(0，∞)并且K(x)≥K∞對(duì)所有的x∈R3成立；
　　 (k2)|K(x)-K(x0)|=o(|x-x0|α)，這里1≤α＜3，K(x0)=maxx∈R3K(x)；
　　 (q1)Q∈C(R3，R)，lim|x|→∞Q(x)=Q∞∈(0，∞)并且Q(x)≥Q∞對(duì)所有的x∈R3成立.
　　 應(yīng)用集中緊性原理我們得到下面的結(jié)果：
　　 定理3.1設(shè)(v2-3)，(k1-2)和

7、(q1)成立，則問(wèn)題(0-4)在空間H1(R3)×D1，2(R3)有一個(gè)基態(tài)解.然后我們研究下面的非齊次Schr(o)dinger-Maxwell方程：{-△u+V(x)u+φu=f(x，u)+h(x)，x∈R3，-△φ=u2，x∈R3(0-5)我們得到如下的定理：
　　 定理4.1假設(shè)h∈L2(R3)并且h(≠)0.設(shè)(v1)，(f1)-(f4)成立，則這里存在一個(gè)常數(shù)m0＞0使得當(dāng)||h||L2＜m0時(shí)系統(tǒng)(0-5)在空間H

8、1(R3)×D1，2(R3)至少有兩個(gè)不同的解.
　　 下面我們處理下面的非齊次Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng){-△u+[m2-(ω+eφ)2]u=f(x，u)+h(x)，x∈R3，-△φ+e2φu2=-eωu2，x∈R3，(0-6)這里m，ω和e是實(shí)常數(shù).我們得到下曲的結(jié)果：定理5.1假設(shè)h∈C1(R3)∩L2(R3)是徑向?qū)ΨQ函數(shù)并且h(≠)0.如果m＞ω＞0，e=1并且f(x，u)=|u|q-2u(2＜q＜6