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文檔簡介
1、1992年,ClaudiaA.Spiro首先給出了加法唯一集的概念.設(shè)E是正整數(shù)集Z+的子集,S是算術(shù)函數(shù)的子集.若存在唯一的f2S,使得對于任意的m;n∈E,有f(m+n)=f(m)+f(n),則稱E為S的一個加法唯一集.他證明了素數(shù)集P是集合{f:f為積性函數(shù);存在po∈P;使得f(po)≠0}的加法唯一集.Claudia A.Spiro在文中提出兩個問題:
1.充分大的素數(shù)組成的集合能否成為集合{f:f是積性函數(shù),存
2、在po∈P;使得f(po)≠0}的一個加法唯一集。
2.是否存在P的一個具有正密度的子集M,使得M不是集合{f:f是積性函數(shù);存在n∈Z+;使得f(n)≠0}的一個加法唯一集?
本文解決了Claudia A.Spiro提出的問題。并研究了一類積性函數(shù)的加法唯一集,得到如下結(jié)果:
1.P\{2}不是集合{f:f是積性函數(shù),存在po∈P\{2};使得f(po)≠0的加法唯一集。
2.P
3、\{3}是集合{f:f是積性函數(shù),存在po∈P\{3};使得f(po)≠0的加法唯一集。
作為推論,我們得到恒等函數(shù)的兩個刻畫:
1.對于任意的n∈Z+,f(n)=n等價于f是積性函數(shù),f(3)=3,且對于任意的p;q∈P\{2},有f(p+q)=f(p)+f(q)。
2.對于任意的n∈Z+,f(n)=n等價于f是積性函數(shù),f(2)=2,且對于任意的p;q∈P\{3},有f(p+q)=f(p)+
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