積性函數(shù)的加法唯一集.pdf

1、1992年,ClaudiaA.Spiro首先給出了加法唯一集的概念.設(shè)E是正整數(shù)集Z+的子集,S是算術(shù)函數(shù)的子集.若存在唯一的f2S,使得對(duì)于任意的m;n∈E,有f(m+n)=f(m)+f(n),則稱E為S的一個(gè)加法唯一集.他證明了素?cái)?shù)集P是集合{f:f為積性函數(shù);存在po∈P;使得f(po)≠0}的加法唯一集.Claudia A.Spiro在文中提出兩個(gè)問(wèn)題：
　　 1.充分大的素?cái)?shù)組成的集合能否成為集合{f:f是積性函數(shù),存

2、在po∈P;使得f(po)≠0}的一個(gè)加法唯一集。
　　 2.是否存在P的一個(gè)具有正密度的子集M,使得M不是集合{f:f是積性函數(shù);存在n∈Z+;使得f(n)≠0}的一個(gè)加法唯一集?
　　 本文解決了Claudia A.Spiro提出的問(wèn)題。并研究了一類積性函數(shù)的加法唯一集,得到如下結(jié)果：
　　 1.P\{2}不是集合{f:f是積性函數(shù),存在po∈P\{2};使得f(po)≠0的加法唯一集。
　　 2.P

3、\{3}是集合{f:f是積性函數(shù),存在po∈P\{3};使得f(po)≠0的加法唯一集。
　　 作為推論,我們得到恒等函數(shù)的兩個(gè)刻畫(huà)：
　　 1.對(duì)于任意的n∈Z+,f(n)=n等價(jià)于f是積性函數(shù),f(3)=3,且對(duì)于任意的p;q∈P\{2},有f(p+q)=f(p)+f(q)。
　　 2.對(duì)于任意的n∈Z+,f(n)=n等價(jià)于f是積性函數(shù),f(2)=2,且對(duì)于任意的p;q∈P\{3},有f(p+q)=f(p)+