多小波的逼近階與平衡性研究.pdf

1、多小波(Multiwavelet)是指由兩個或兩個以上函數(shù)作為尺度函數(shù)生成的小波。與多小波相聯(lián)系的是一個多重多分辨分析(MRAr)。稱函數(shù)向量φ(t)=[φ0(t)，φ1(t),...，φr-1(t)]T，φi(t)∈L1(R)，(i=0,...，r-1)是一個r重多分辨分析的r重尺度函數(shù)(簡稱多尺度函數(shù))，如果對Bj=span{φi,j,k(x):0≤i＜r，κ∈Z}，j∈Z滿足：1)…()Vj+1()Vj()Vj-1()…，2)∩j

2、∈ZVj={0}，-∪j∈ZVj=L2(R)，3)f(x)∈j()f(2x)∈j+1,j∈Z，4)f(x)∈V0()f(x-κ)∈V0，5){φi,j,k0≤i＜r，κ∈Z}構成Vj子空間的Riesz基，其中φi,j,k(x)：=2j/2φi(2-jx-κ)。相應地，V0在V-1中的正交補子空間W0由r重多小波ψ(t)=[ψ0(t)，ψ1(t),...，ψr-1(t)]T，ψi(t)∈L1(R)，(i=0，...，r-1)的整平移構成。

3、MRAr的多尺度函數(shù)滿足矩陣加細方程：φ(t)=∑κ∈ZHκφ(2t-κ)，多小波函數(shù)滿足：ψ(t)=∑κ∈ZGκφ(2t-κ)，多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)是傳統(tǒng)標量尺度函數(shù)和小波函數(shù)的自然推廣。由矩陣加細方程的某些矩陣性質，多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)可同時具有正交性、對稱性、緊支撐性和高逼近階。這是多小波較之單小波的優(yōu)越之處，正因為此，多小波的研究與應用日益受到科技界、工程界的重視。 通過對小波及多小波基礎理論的回顧，本文首先介紹了V

4、.Strela提出的兩尺度相似變換(TST)提高尺度函數(shù)逼近階的方法，并在此方法的基礎上，構造不同的變換矩陣Mr(ω)，將有限元多尺度函數(shù)及GHM尺度函數(shù)的逼近階提高到任意整數(shù)，同時保持緊支與對稱性。由于TST不能保持原函數(shù)的正交性，對構造出的GHM型尺度函數(shù)，又給出了與之雙正交且具有一定逼近階的函數(shù)族，使構造出的尺度函數(shù)族具有更高的應用價值。 其次，本文研究了“平衡性”，這一多小波具有的特殊性質。由于逼近性與平衡性有著天然的聯(lián)

5、系，而與兩者相關的雙無窮陣卻并不相同(列向量排序正好相反)，這不利于考察兩者之間的具體關系。為了討論的方便，本文將多小波的逼近性與用于定義平衡性的雙無窮陣聯(lián)系，得到基于此矩陣的多尺度函數(shù)具有p階逼近的充要條件，以及一個檢驗尺度函數(shù)逼近階時易于使用的定理。在這些定理的基礎上，用簡短的證明過程得出了具有p階平衡的多小波系統(tǒng)，相應的多尺度函數(shù)必是p階逼近的。在引入了多小波不同于單小波的插值條件后，利用同樣的定理，得到具有p階逼近的多尺度函數(shù)，