關于有限擬量子群的分類.pdf

1、本文主要研究了有限維的點化Majid代數(shù)的分類理論和結(jié)構(gòu)理論，以及有限群上扭Yetter-Drinfeld范疇中具有有限根系的對角型Nichols代數(shù)的分類理論。我們給出了有限群的交換3階上循環(huán)消解的一般性方法，再利用張量范疇的規(guī)范變換，從而把有限群上的扭Yetter-Dringeld范疇中的對角型Nichols代數(shù)的分類問題，轉(zhuǎn)化為有限群上通常的Yetter-Drinfeld范疇中對角型Nichols代數(shù)的分類問題。進而結(jié)合Hecke

2、nberger關于算術(shù)根系的分類，我們給出了有限群上的扭Yetter-Dringeld范疇中具有有限根系的對角型Nichols代數(shù)的分類。特別地，我們得到了這類范疇中所有的有限維對角型Nichols代數(shù)的分類。然后，我們證明了所有的有限維對角型點化Majid代數(shù)都是由群樣元和協(xié)本原元生成的，從而部份肯定回答了廣義Andruskiewitsch-Schneider猜想。最后，利用我們在廣義Andruskiewitsch-Schneider

3、猜想方面的證明結(jié)果，以及我們對有限群上的扭Yetter-Drinfeld范疇中具有有限根系的對角型Nichols代數(shù)的分類，我們給出了所有有限維連通的對角型分次點化Majid代數(shù)的分類。本文共分為五章。
　　第一章，我們主要介紹擬量子群的歷史來源和發(fā)展狀況。我們著重介紹了該領域當前的研究進展和研究方法，以及本文所取得的主要結(jié)果。
　　第二章，我們詳細地介紹了擬量子群，張量范疇，算術(shù)根系，Weyl群胚和Nichols代數(shù)等本文

4、需要用到的概念，以及一些基本的結(jié)論。我們近期所取得的一些關于點化Majid代數(shù)的結(jié)果，比如Majid玻色子化的具體公式等，也放在這一章節(jié)進行介紹。
　　第三章，我們主要研究扭Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ中的對角型Nichol代數(shù)，對其中具有有限根系的對角型Nichols代數(shù)進行分類。Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ的結(jié)合子是由G的3-上循環(huán)Φ來決定的。首先我們證明了如果KGKGyDΦ中的一個對角

5、型Nichols代數(shù)的支撐子群是G，則G是交換群，Φ是G的一個交換3階上循環(huán)。這相當于說任何一個對角型Nichols代數(shù)B(V)都可以實現(xiàn)在這樣一個Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ中，其中G是交換群，Φ是G的一個交換3階上循環(huán)。接下來，我們對交換群的交換3階上循環(huán)進行了細致的研究，給出了交換3階上循環(huán)的消解方法，成功地把KGKGyDΦ中的對角型Nichols代數(shù)和某個更大的交換群G對應的通常的Yetter-Drinfel

6、d范疇KGKGyD中的對角型Nichols代數(shù)聯(lián)系起來，進而得到KGKGyDΦ中具有限根系的對角型Nichols代數(shù)的分類。特別的，考慮具有有限根系的對角型Nichols代數(shù)的每一個正根對應的根向量的冪零指數(shù)，我們得到了KGKGyDΦ中所有的有限維對角型Nichols代數(shù)的分類。
　　第四章，我們給出了有限維連通的余根分次對角型點化Majid代數(shù)的分類。我們稱一個Majid代數(shù)為連通的，當且僅當其Gabriel箭圖是連通的。一般的

7、有限維余根分次點化Majid代數(shù)的分類，總是可以約化成有限維連通的余根分次點化Majid代數(shù)的分類。要給出有限維點化Majid代數(shù)的分類，一個必須要回答的問題就是猜想1.2。作為本文的主要結(jié)果之一，我們部份肯定地回答了這個猜想，即我們證明了任何一個有限維對角型點化Majid代數(shù)都是由群樣元和協(xié)本原元生成的。從而我們可以把有限維連通的余根分次對角型點化Majid代數(shù)的分類問題轉(zhuǎn)化為有限維對角型Nichols代數(shù)的分類問題，再結(jié)合上一章的結(jié)

8、果，我們得到了本章關于點化Majid代數(shù)的分類結(jié)果。這一章，我們還給出了一些有限維連通的分次點化Majid代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理。
　　第五章，我們對Cartan型和標準型的點化Majid代數(shù)做了細致的研究。我們證明了從任何有限Cartan矩陣出發(fā)，都存在無限多個有限維的Cartan型點化Majid代數(shù)，其相應的Nichols代數(shù)的根系就是該Cartan矩陣對應的復半單李代數(shù)的根系。與此同時，我們也提供了一套具體的從有限Cartan矩陣出