Steklov本征值問題的邊界積分方程的高精度算法.pdf

1、本文主要利用機械求積法得到偏微分方程的高精度近似值。與有限元方法、配置法等相比，具有精度高、計算量小，收斂速度快的優(yōu)點。利用外推或分裂外推進(jìn)一步提高近似解的精確度，精度可以達(dá)到O(h5)甚至O(h7)。特別是分裂外推算法具有平行算法的優(yōu)點，可在機械求積法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步減少計算復(fù)雜度.本文分別針對Laplace方程和彈性方程中Steklov特征值問題、具有線性邊界條件的彈性問題,以及具有非線性邊界條件的Laplace方程進(jìn)行了求解。得到對

2、應(yīng)問題的高精度近似解.數(shù)值算例說明了此方法的優(yōu)越性與有效性。
　　首先研究在具有光滑邊界的微分方程中引入Steklov特征值問題后,給出特征值問題的求解方法，以及他們在求解微分方程中的應(yīng)用。利用位勢理論, Laplace方程和彈性方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程。方程中將具有對數(shù)弱奇異積分和柯西奇異積分,機械求積法將被應(yīng)用來近似這些算子得到線性方程組。根據(jù)Anselone聚緊收斂、漸近緊收斂,以及共軛算子的性質(zhì),我們得到近似解的誤差具有奇數(shù)

3、階漸近展開式,且收斂速度為O(h3)。用外推算法進(jìn)一步提高近似精度階為O(h5),還得到后驗誤差估計。利用特征向量的正交性與完備性得到邊界條件值的廣義Fourier級數(shù)展開,從而給出微分方程的新的求解方法。
　　其次，集中研究在Laplace方程中具有多角形邊界區(qū)域的Steklov特征值問題。利用位勢理論,Laplace方程可轉(zhuǎn)化為邊界積分方程,方程中的積分核與調(diào)和函數(shù)在角點處都具有奇異性。為了消除積分核與調(diào)和函數(shù)在角點處的奇異性

4、,我們引入sinp-三角變換,并對積分核與未知特征向量函數(shù)進(jìn)行重組.由聚緊、漸近緊收斂性質(zhì),得到近似解的多變量漸近展開式和收斂精度階O(h30)，利用分裂外推算法更進(jìn)一步地提高了近似的精確度為O(h50)。
　　最后，利用機械求積方法求解具有線性邊界條件的彈性力學(xué)問題以及求解具有非線性邊界條件的Laplace方程。利用位勢理論,具有線性邊界條件的彈性力學(xué)問題可轉(zhuǎn)化為具有對數(shù)奇異和柯西奇異的邊界積分方程以及具有非線性邊界條件的Lap