廣義變分不等式及擬均衡問(wèn)題的外梯度投影算法研究.pdf

1、廣義變分不等式問(wèn)題是在實(shí)際應(yīng)用中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)模型.對(duì)于廣義變分不等式問(wèn)題的研究,為大量實(shí)際問(wèn)題的解決提供了強(qiáng)大的技術(shù)支持,例如機(jī)械學(xué)、優(yōu)化理論、交通問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)平衡問(wèn)題、彈性接觸概率和數(shù)學(xué)的其他分支等實(shí)際問(wèn)題.在本文中,針對(duì)實(shí)歐幾里得空間和無(wú)限希爾伯特空間中的廣義變分不等式問(wèn)題,我們給出了幾類新的外梯度投影算法.此外,我們還提出了另一個(gè)新的投影算法來(lái)解決擬均衡問(wèn)題.本文的其余部分安排如下:
　　第一章,我們介紹了有關(guān)變分不等式問(wèn)題

2、和廣義變分不等式問(wèn)題的一些基礎(chǔ)背景知識(shí)，并簡(jiǎn)單總結(jié)了一些廣義變分不等式問(wèn)題的現(xiàn)有研究結(jié)果.
　　第二章,給出了文章中相關(guān)的基本概念,例如投影算子的性質(zhì)、單調(diào)集值算子的定義、偽單調(diào)集值算子和連續(xù)集值算子的定義.
　　第三章,對(duì)實(shí)數(shù)域歐幾里得空間內(nèi)的廣義變分不等式問(wèn)題展開研究.我們把經(jīng)典變分不等式研究過(guò)程中的一類外梯度投影算法推廣到廣義變分不等式問(wèn)題中.針對(duì)給定的初始迭代點(diǎn),我們首先證明了該算法所產(chǎn)生序列的擴(kuò)張性質(zhì).然后證明了該

3、廣義變分不等式問(wèn)題的解的存在性,可以通過(guò)算法所產(chǎn)生的無(wú)窮序列的某個(gè)性質(zhì)等價(jià)的反映出來(lái)。最后,在合理假設(shè)條件下,證明了該算法是全局收斂的.
　　第四章,針對(duì)偽單調(diào)廣義變分不等式問(wèn)題,我們給出了一類改進(jìn)的兩步外梯度投影算法.每次迭代需要兩次投影,而且每次迭代可以產(chǎn)生不同的步長(zhǎng)供選擇.我們從幾何的角度證明了所設(shè)計(jì)算法具有長(zhǎng)迭代步,它保證了當(dāng)前迭代點(diǎn)到解集的距離較上一迭代點(diǎn)有很大下降.在合理的假設(shè)條件下,我們證明了該算法的全局收斂性.進(jìn)一

4、步,如果投影算子滿足給定的局部誤差界，我們證明了算法的-線性收斂性.
　　第五章,通過(guò)一類新的外梯度投影算法,我們研究了無(wú)限維希爾伯特空間中的廣義變分不等式問(wèn)題.對(duì)于給定的起始迭代點(diǎn),我們證明了該算法的擴(kuò)張性質(zhì),即下一迭代點(diǎn)到初始迭代點(diǎn)的距離較上一迭代點(diǎn)有大幅提高.并且證明了該廣義變分不等式問(wèn)題的解的存在性等價(jià)于算法所產(chǎn)生的無(wú)限點(diǎn)列的某個(gè)性質(zhì).最后,在合理假設(shè)條件下,算法的強(qiáng)收斂性質(zhì)得到證明.
　　第六章,我們把求解變分不等

5、式問(wèn)題的一類次梯度外梯度投影算法應(yīng)用到廣義變分不等式問(wèn)題中.對(duì)于經(jīng)典變分不等式問(wèn)題的傳統(tǒng)外梯度投影算法,如果可行集足夠簡(jiǎn)單,那么投影可行集上的點(diǎn)很容易計(jì)算并且該算法非常有用;如果可行集是廣義閉凸集,則投影算子會(huì)大大降低外梯度算法的效率.新提出的次梯度外梯度投影算法,把投影區(qū)域用一個(gè)特殊半空間來(lái)代替,大大提高了傳統(tǒng)外梯度投影算法的效率.因?yàn)閺V義變分不等式問(wèn)題是經(jīng)典變分不等式問(wèn)題的自然推廣,這點(diǎn)促使我們把次梯度外梯度算法應(yīng)用到廣義變分不等式