擬周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性.pdf

1、本文討論擬周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性，碰撞振子是非線性振動和非光滑Hamilton系統(tǒng)的重要模型之一，它的研究與Fermi-Ulam加速器問題、對偶臺球問題、金屬斷裂學(xué)、天體力學(xué)穩(wěn)定性等相關(guān)聯(lián)．擬周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性研究需要應(yīng)用KAM技巧． 本文給出了解析以及光滑條件下的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理，并利用這些定理討論了擬周期彈性碰撞振子運動的Lagrange穩(wěn)定性．文章有三個主要部分． 一、證

2、明了三個甲面擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理． 先應(yīng)用Moser的經(jīng)典KAM迭代技巧證明了解析的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理．然后根據(jù)擬周期頻率的不同情形，分別把上述定理推廣到平均小扭轉(zhuǎn)和頻率有理相關(guān)時的小扭轉(zhuǎn)情形． 對于平均小扭轉(zhuǎn)定理，頻率只是有理無關(guān)，并不滿足Diophantine條件，因此無法處理小分母問題，這里采用經(jīng)典KAM定理證明中的“截斷”方法求解同調(diào)方程，給出坐標變換，并把同調(diào)方程求解帶來的誤差直接放在小擾動中

3、，把它轉(zhuǎn)化為一般的小扭轉(zhuǎn)映射，從而得到不變曲線的存在性． 對于頻率有理相關(guān)時的小扭轉(zhuǎn)定理，先分離映射中對應(yīng)于頻率有理相關(guān)和有理無關(guān)的部分．對于有理無關(guān)的部分類似平均小扭轉(zhuǎn)定理的處理方式．有理相關(guān)的部分是對應(yīng)于變換后的映射的主要部分，通過Hamilton系統(tǒng)的作用-角變換，并把原系統(tǒng)的角變量作為新系統(tǒng)的時間變量，給出相應(yīng)的同胚變換，使得變換后的映射滿足一般的小扭轉(zhuǎn)定理的條件，從而得到不變曲線的存在性． 二、討論了解析的擬周

4、期碰撞振子的解的有界性（即Lagrange穩(wěn)定性）問題． 先考慮了漸近線性擬周期碰撞振子在非共振和共振點附近的解的有界性．首先把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有中心對稱向量場的Hamilton系統(tǒng)，再通過Hamilton系統(tǒng)的一系列坐標變換把碰撞問題轉(zhuǎn)化為一可積系統(tǒng)的小擾動問題，變換的過程中始終保持向量場的中心對稱性，然后運用Poincaré映射把它轉(zhuǎn)化為擬周期小扭轉(zhuǎn)映射．接下來，分別應(yīng)用第二章得到的平均小扭轉(zhuǎn)定理和頻率有理相關(guān)時的小扭轉(zhuǎn)定理

5、，得到在一定條件下，漸近線性擬周期碰撞振子在非共振和共振點附近的相平面上不變曲線的存在性，從而證明了碰撞解的有界性． 再考慮了一類超線性擬周期碰撞振子的解的有界性，同樣先把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有中心對稱向量場的Hamilton系統(tǒng)，然后通過作用-角變換以及尺度變換把它轉(zhuǎn)化為-可積系統(tǒng)的小擾動問題，接下來的證明與漸近線性擬周期碰撞振子在共振點附近的情形類似． 三、討論了光滑的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線的存在性問題． 在保