彈性碰撞振子和相關(guān)模型的周期解和Lagrange穩(wěn)定性.pdf

1、本文討論彈性碰撞振子和相關(guān)模型的周期解和lagrange碰撞振子是非線性振動和hamilton系統(tǒng)的重要模型之一，它們和fermi-ulam加速器問題、對偶臺球問題、金屬斷裂學(xué)和天體力學(xué)穩(wěn)定性等相關(guān)連，其動態(tài)行為的研宄有助于這些問題的理解.
　　文章有三個(gè)主要部分^
　　一、證明了次線性hamilton碰撞振子的彈性周期解的存在性.
　　對于平面的hamilton方程或者是hamilton碰撞振子，pioncaré-b

2、irkhoff扭轉(zhuǎn)定理是證明方程存在周期解或無窮多次調(diào)和解的一個(gè)基本工具.在證明中關(guān)鍵的一步是在相平面上構(gòu)造滿足扭轉(zhuǎn)條件的環(huán)域.當(dāng)方程是次線性時(shí)，其對應(yīng)的相平面上的扭轉(zhuǎn)比較弱，需要考慮其pioncaré映射的若干次迭代，才能產(chǎn)生足夠的扭轉(zhuǎn)^但這樣多次迭代的副作用是可能有解會跑向原點(diǎn)而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角度無法估計(jì).與已有的相應(yīng)無碰撞振子的研究不一樣，我們分析了解的盤旋性質(zhì)，采用“后繼映射”的方法分析碰撞振子的解的扭轉(zhuǎn)性，在符號條件下我們給出了一個(gè)

3、一般性的定理.然后通過細(xì)致的相平面分析把定理應(yīng)用到次二次線性碰撞振子和弱次二次碰撞振子上.同時(shí)，我們也對不符合符號條件并且后繼映射無定義的擺型碰撞振子進(jìn)行了研究.我們引進(jìn)新的坐標(biāo)變換把右半平面上的碰撞問題轉(zhuǎn)換到除原點(diǎn)以外的全平面上，再研究相應(yīng)pioncaré映射的扭轉(zhuǎn)性。
　　二、討論了擬周期碰撞振子的解的有界性〈lagrange穩(wěn)定性〉問題.
　　作為滅0861型的光滑的擬周期小扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線存在定理的應(yīng)用，我們分別討

4、論了次線性、有界、半線性擬周期碰撞振子的解的有界性〈largange穩(wěn)定性〉問題.首先，我們把碰撞問題轉(zhuǎn)化為具有中心對稱向量場的hamilton系統(tǒng).為克服其角函數(shù)的不光滑性我們交換了時(shí)間變量和角變量，通過積分、磨光等方法把問題光滑化，再通過一系列坐標(biāo)變換把它化為可積hamilton系統(tǒng)的小擾動問題.與非碰撞問題相比我們必須保持變換后的hamilton系統(tǒng)的向量場仍中心對稱，所以我們用一定的技巧使其在每一次坐標(biāo)變換中保持對稱性.最后由其

5、pioncaré映射的不變曲線的存在性得到擬周期碰撞振子的解的有界性.
　　三、討論了無碰撞的奇異方程在共振點(diǎn)處的無界擾動的周期解的存在性，并應(yīng)用到相應(yīng)的徑向?qū)ΨQ方程的周期解和擬周期解的研宄上.
　　一定的奇異碰撞問題可能不存在碰撞解，但無碰撞的奇異方程的研究與高維的徑向?qū)ΨQ方程相關(guān)對擾動項(xiàng)是無界的奇異共振方程，傳統(tǒng)的估計(jì)其pioncaré映射的方法失效，因此我們對其后繼映射進(jìn)行細(xì)致的相平面分析估計(jì)，然后用拓?fù)涠壤碚撟C明方程