離散時(shí)間Markov鏈的遍歷論.pdf

1、Markov鏈的遍歷論是研究Markov鏈的漸進(jìn)性態(tài)的理論。Markov鏈在概率論、隨機(jī)微分方程、排隊(duì)論、統(tǒng)計(jì)物理、Monte Carlo數(shù)值計(jì)算和迭代函數(shù)系統(tǒng)的研究中有重要應(yīng)用.不變測(cè)度的存在性、遍歷性和漸進(jìn)穩(wěn)定性是遍歷論研究的主要課題. 本文研究了離散時(shí)間Markov鏈的遍歷論中的幾個(gè)重要問題.主要方法是由Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率測(cè)度導(dǎo)出測(cè)度空間或函數(shù)空間上的Markov算子，通過研究算子的漸進(jìn)性質(zhì)，得到Markov鏈的遍歷

2、性質(zhì).本文共分為四個(gè)章節(jié). 第一章研究局部緊可分度量空間上的Markov算子的遍歷分解定理。遍歷分解定理說明了基本遍歷測(cè)度是不變概率測(cè)度空間中的”基本元素”，不變概率測(cè)度可以表示成基本遍歷測(cè)度的積分形式.因此，遍歷分解的研究有助于刻畫不變概率測(cè)度的存在性和唯一性.Yosida給出了緊空間上具有不變概率測(cè)度的Markov算子的遍歷分解定理。Radu Zaharopol[11]研究了局部緊空間中的具有不變概率測(cè)度的Markov-Fe

3、ller算子的遍歷分解定理，并給出了其遍歷測(cè)度的支集刻畫公式.本文第一章研究了具有σ-有限不變測(cè)度的Markov算子的遍歷分解定理，并且將σ-有限不變測(cè)度表示成基本遍歷測(cè)度的積分形式，而且還討論了當(dāng)Markov算子具有嚴(yán)格可限制性時(shí)，遍歷分解中的基本遍歷測(cè)度的個(gè)數(shù)是有限的。本章的主要證明方法是先應(yīng)用Birkhoff平均遍歷定理找到與σ-有限不變測(cè)度等價(jià)的不變概率測(cè)度，然后利用Yosida遍歷分解定理，尋找基本遍歷測(cè)度. 不可約性

4、和遍歷性是刻畫Markov鏈漸進(jìn)性態(tài)的重要概念.在可數(shù)狀態(tài)空間中，通過狀態(tài)空間中各個(gè)狀態(tài)的通達(dá)性來定義不可約性.在不可數(shù)狀態(tài)空間中，不可約則是通過Markov鏈到達(dá)任一開集的性質(zhì)來刻畫的，遍歷性是指不變集為零測(cè)集或全集.遍歷性比不可約性要強(qiáng).在有限狀態(tài)空間中，D.Revuz證明了Markov鏈遍歷的充要條件是此鏈?zhǔn)遣豢杉s且非周期的。本文第二章討論了不可數(shù)狀態(tài)空間上的Markov鏈的不可約性與遍歷性的關(guān)系，給出保守的Markov算子的不可

5、約性與遍歷性等價(jià)的條件，即不變測(cè)度的支集為全空間. 唯一遍歷性是指Markov鏈只有一個(gè)不變概率測(cè)度，它刻畫了Markov鏈的穩(wěn)定分布的唯一性.唯一遍歷性要比漸進(jìn)穩(wěn)定性弱，比不變測(cè)度的存在性要強(qiáng).因此，刻畫唯一遍歷性具有重要的意義.P.Walters給出了緊空間中連續(xù)變換唯一遍歷的等價(jià)條件.Radu Zaharopol研究了局部緊可分度量空間中Markov-Feller算子唯一遍歷的充要條件是存在控制生成點(diǎn)，本文第三章研究了局部

6、緊可分度量空間中Markov算子的唯一遍歷性，給出三個(gè)與唯一遍歷性等價(jià)的平均遍歷定理和一致遍歷定理。本章結(jié)果是將P.Walters中緊空間上連續(xù)變換的唯一遍歷性等價(jià)定理推廣到了局部緊空間中. 不變測(cè)度的存在性和漸進(jìn)穩(wěn)定性是遍歷論中研究的重要問題.Lasota-Yorke用轉(zhuǎn)移概率測(cè)度的漸進(jìn)性給出了局部緊可分度量空間中Markov-Feller算子不變測(cè)度的存在性和漸進(jìn)穩(wěn)定性的充分條件.S.Meyn，R.Tweedie[8]用Fo

7、ster-Lyapunov條件證明了局部緊空間上Markov算子不變測(cè)度的存在性，此條件只用到一步轉(zhuǎn)移概率，比較容易驗(yàn)證.T.Szarek研究了波蘭空間中Markov算子存在不變測(cè)度和漸進(jìn)穩(wěn)定性的問題.他給出了各種類型的漸進(jìn)性條件來確保不變測(cè)度的存在性和唯一性，本文第四章給出了波蘭空間中Markov-Feller算子存在不變概率測(cè)度的一個(gè)比較容易驗(yàn)證的充分條件.此條件是說，如果Markov算子在一點(diǎn)等度連續(xù)，那么就存在不變測(cè)度，而且其證