矩陣的Hadamard積與符號模式.pdf

1、我們主要討論了非負矩陣、M-陣的Hadamard積與Fan積問題,以及矩陣Hadamard積的一些范數(shù)不等式.同時也討論了逆M-矩陣、零模式不變矩陣、符號模式矩陣、k-冪等陣和符號k-冪等陣等特殊矩陣的相關(guān)問題.這些成果與M.Fiedler、R.A.Hom、R.Mathias、R. Bhatia、C.Davis、M.D.Choi、C.Eschenbach、M.Jeter和W. Pye的工作密切相關(guān). 1.非負矩陣的Hadamar

2、d積令A=(aij)和B=(bij)都為非負矩陣,及D1=diag(aij)和D2=diag(bii).我們給出了A和B的Hadamard積的譜半徑p(A o B)的精確上界.特別地,如果A和B的主對角元素都非零,則p(A o B)≤(1+ρ(JA)ρ(JB))maxi aiibii,其中JA=D1-1(A-D1)和JB=D2-1(B-D2). 2.M-陣的Hadamard積與Fan積令A=(aij)和B=(bij)都為非奇異M

3、-陣,及D1=diag(aii)和D2=diag(bii).我們給出了A和B的Fan積的最小特征值τ(A★B)以及A和B-1的Hadamard積的最小特征值τ(A o B-1)的精確下界,得到了如下結(jié)論：τ(A★B)≥(1-ρ(SA)ρ(SB))mini(aiibii),及τ(A o B-1)≥1-ρ(SA)ρ(SB)/1+ρ2(SB)miniaii/bii,其中SA=D1-1(D1-A)和SB=D2-1(D2-B). 3.矩陣

4、Hadamard積的范數(shù)不等式令Cn和Rn+分別為n×n復矩陣和非負矩陣的集合,及‖.‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù).我們首先刻畫了滿足下列條件的酉不變范數(shù)‖.‖:對任意[aij]∈Cn,‖[aij]‖=‖[｜aij｜]‖.然后我們證明了：令‖.‖為矩陣范數(shù),則對所有X ∈Rn+及A,B ∈Cn,‖A o X o B‖2≤‖A o X o -A‖‖B o X o-B‖當且僅當范數(shù)‖.‖滿足‖[cij]‖≤‖[｜cij｜]‖,(∨)[cij

5、] ∈Cn。而且,如果A,B,X ∈Cn,則對任意酉不變范數(shù)‖.‖,‖A o X o B｜p‖2≤np‖｜A o X o -A｜p‖‖｜B o X o -B｜p‖,(p≥1)其中｜A｜=(A*A)1/2.這些結(jié)果與R.A.Horn和R.Mathias及R.Bhatia,C.Davis和M.D.Choi的工作密切相關(guān). 4.逆M-陣與零模式不變陣我們知道逆M-陣為非負零模式不變陣.首先我們通過考慮零模式不變陣來刻畫了逆M-陣的一般結(jié)構(gòu).接

6、下來我們考慮了每行最多只有三個非零元素的非負陣,給出了這類矩陣為逆M-陣的充分必要條件.這樣我們也得到了特殊矩陣即Triadic陣A為逆M-陣的充要條件.特別地,如果這樣的矩陣A也為(0,1)-陣,則A為逆M-陣當且僅當A為非奇異的零模式不變陣.另外也考慮了逆M-陣的Hadamard積的一些性質(zhì). 5.冪等符號模式陣我們說明了并不是所有的冪等符號模式陣都相似于非負矩陣,然后給出了兩類相似于非負矩陣的冪等符號模式陣,并回答了C.E