非牛頓流與格點系統(tǒng)的漸近行為.pdf

1、本博士學(xué)位論文主要分兩部分.前一部分(第一章至第六章)研究非牛頓流方程解的漸近行為.后一部分(第七章至第十一章)研究格點系統(tǒng)的解的漸近行為.流體力學(xué)現(xiàn)象普遍存在于物理學(xué)、生物學(xué)、大氣與海洋科學(xué)及航空工業(yè)等領(lǐng)域。非牛頓流體力學(xué)是近代流體力學(xué)的一個重要分支.論文前一部分主要研究數(shù)學(xué)家Ladyzhenskaya提出的一個非牛頓流模型，主要證明該非牛頓流軌道吸引子及一致吸引子、后拉吸引子的存在性和正則性.同時證明了具有快速振動外力項的非牛頓流一

2、致吸引子的穩(wěn)定性及具有時滯項的非牛頓流后拉吸引子的存在性與正則性.離散與連續(xù)是客觀世界物質(zhì)運(yùn)動對立統(tǒng)一的兩種形式.格點系統(tǒng)是某些變量離散化的時空系統(tǒng)，包括耦合的常微分方程組、耦合映射格點和細(xì)胞自動機(jī).在某些情況下，格點系統(tǒng)表現(xiàn)為偏微分方程的空間變量離散化近似。在論文后一部分中，我們先證明時滯格點系統(tǒng)整體吸引子、核截面與一致吸引子存在的充分必要條件，并將結(jié)果應(yīng)用到時滯格點反應(yīng)擴(kuò)散方程，證明了整體吸引子的存在性，上半連續(xù)性和極限行為。接著考

3、慮了兩個典型數(shù)學(xué)物理方程(Klein-Gordon-Schrodinger方程和長波-短波共振方程)在無窮格點上緊致核截面的存在性、上半連續(xù)性和Kolmogorov ε-熵的上界估計。然后考慮了非經(jīng)典拋物方程和復(fù)Ginzburg-Landau方程在無窮格點上的整體吸引子的極限行為。之后，我們證明了Hilbert空間中緊集具有有限分形維數(shù)的準(zhǔn)則，并將結(jié)果應(yīng)用到具體的格點系統(tǒng)中.最后，我們考慮隨機(jī)格點系統(tǒng)，證明了隨機(jī)格點動力系統(tǒng)存在隨機(jī)整體

4、吸引子的充分條件，并將該條件應(yīng)用到隨機(jī)格點sine-Gordon方程上. 論文具體安排如下： 第一章首先概述無窮維動力系統(tǒng)理論的背景，介紹無窮維動力系統(tǒng)相關(guān)的概念和主要結(jié)果.然后概述非牛頓流的現(xiàn)實背景及當(dāng)前國際上的研究情況，并概述本文在這一方面所做的工作.最后，我們介紹無窮格點系統(tǒng)的起源與當(dāng)前國際上的研究概況，并概述本文在這方面所做的主要研究工作. 第二章考慮自治情形非牛頓流的軌道吸引子的存在性。在該方程的解的唯

5、一性沒有得到證明的情況下，我們借助作用在軌道空間中的自然平移半群，證明緊致吸收集的存在性，從而證明軌道吸引子的存在性，同時得到了廣義整體吸引子的存在性。 第三章考慮非自治非牛頓流的一致吸引子的存在性.我們先通過一些細(xì)致的先驗估計證明H空間中一致吸引子的存在性，然后應(yīng)用譜分析的技巧證明V空間中一致吸引子的存在性.最后我們應(yīng)用一致Gronwall不等式和方程自身的特點證明H空間中一致吸引子與V空間中一致吸引子是相等的，從而得到了一致

6、吸引子的正則性.該正則性揭示了該非牛頓流方程的解的漸近光滑效應(yīng)；解(具有H2正則性)會最終變得比初值(具有L2正則性)更光滑. 第四章研究非自治非牛頓流解的后拉漸近行為。首先，我們通過細(xì)致的先驗估計證明H空間中后拉吸引子的存在性.然后應(yīng)用橢圓算子的譜分析的技巧來證明V空間中后拉吸引子的存在性.與第三章相似，我們應(yīng)用-致Gronwall不等式證明H空間中的后拉吸引子與V空間中的后拉吸引子實際上是相等的.該正則性揭示了該非牛頓流方程解的后拉

7、漸近光滑效應(yīng)；解在相關(guān)環(huán)的后拉作用下會變得比初值更光滑. 第五章考慮具有快速振動(關(guān)于時間)外力項的的非牛頓流.在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，我們證明振動方程與平均方程的一致吸引子之間在Hausdorff距離意義下的逼近關(guān)系. 第六章考慮具有時滯的非牛頓流方程.我們證明不同空間上的過程后拉吸引子的存在性.然后應(yīng)用能量方法證明了這兩組后拉吸引子之間的關(guān)系，并通過得到關(guān)系證明后拉吸引子的正則性. 在第七章，我們先證明時滯格點系統(tǒng)存

8、在整體吸引子的充分必要條件.然后應(yīng)用該結(jié)果證明時滯反應(yīng)擴(kuò)散方程在無窮格點上整體吸引子的存在性.接著我們考慮時滯區(qū)間長度趨近于零時整體吸引子的奇異極限行為.最后，我們說明對于緊致核截面和一致吸引子有相似的結(jié)果成立. 第八章證明Klein-Gordon-Schrodinger方程和長波-短波共振方程在無窮格點上緊致核截面的存在性、上半連續(xù)性以及Kolmogorov ε-熵的估計. 第九章考慮非經(jīng)典拋物方程和復(fù)Ginzburg

9、-Landau方程在無窮格點上的整體吸引子的奇異(關(guān)于方程中的參數(shù))極限行為.我們通過證明解對系統(tǒng)中參數(shù)的連續(xù)依賴性證明了整體吸引子關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。 在第十章，我們先證明Hilbert空間中緊集具有有限分形維數(shù)的一個準(zhǔn)則，然后把該準(zhǔn)則應(yīng)用到非自治一階無窮格點系統(tǒng)得到了有限維核截面的存在性。 第十一章考慮隨機(jī)格點系統(tǒng)。我們先證明了隨機(jī)格點動力系統(tǒng)存在隨機(jī)整體吸引子的充分條件.然后把得到的結(jié)果應(yīng)用到隨機(jī)格點sine-G