兼具連續(xù)和離散系統(tǒng)特征的脈沖微分系統(tǒng)及其最優(yōu)控制.pdf

1、脈沖現(xiàn)象是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中一種普遍而重要的現(xiàn)象，并通常用脈沖微分方程進(jìn)行刻畫(huà)。對(duì)實(shí)際問(wèn)題，我們還希望用相對(duì)快速的外加手段或脈沖擾動(dòng)來(lái)修正系統(tǒng)以達(dá)到預(yù)期目的，此時(shí)必須考慮脈沖微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制。
　　本文用非線性泛函分析，從廣義解(溫和解，弱解)的角度研究兼具連續(xù)和離散系統(tǒng)特征的三個(gè)新問(wèn)題：無(wú)窮維二階脈沖積微分系統(tǒng)及其最優(yōu)控制、無(wú)窮維脈沖時(shí)刻依賴于狀態(tài)的微分系統(tǒng)、時(shí)標(biāo)脈沖動(dòng)力系統(tǒng)及其最優(yōu)控制。
　　首先，較為系統(tǒng)地討

2、論具有深刻物理背景的無(wú)窮維二階脈沖積微分系統(tǒng)及其最優(yōu)控制。先對(duì)若干無(wú)界算子矩陣，用主算子生成的發(fā)展算子構(gòu)造無(wú)界算子矩陣生成的發(fā)展算子并討論其性質(zhì)，然后引進(jìn)一類恰當(dāng)?shù)膹V義解――溫和解，用帶積分算子的脈沖型Gronwall不等式、壓縮原理，證明了二階脈沖單純型積微分方程的溫和解的存在唯一性，用帶臨界指數(shù)和混合型積分算子的脈沖型Gronwall不等式、Leary-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了二階脈沖混合型積微分方程的溫和解的存在性。特別，

3、對(duì)有界擾動(dòng)的情形，在分?jǐn)?shù)次冪空間中討論溫和解，獲得了解的更多信息。進(jìn)而考慮系統(tǒng)決定的最優(yōu)控制問(wèn)題，獲得了最優(yōu)控制的存在性。研究二階脈沖積微分方程的倒向問(wèn)題所涉及的無(wú)界算子矩陣的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，引進(jìn)溫和解并討論其存在唯一性，克服了二階脈沖積微分方程的倒向問(wèn)題往往不能轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題的困難，導(dǎo)出了最優(yōu)化的必要條件。并將結(jié)果應(yīng)用于有明顯物理背景的雙曲型脈沖積微分方程、帶記憶的脈沖粘彈性方程。
　　其次，研究無(wú)窮維脈沖時(shí)刻依賴于狀態(tài)的微分系統(tǒng)的

4、溫和解。從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，提出該類系統(tǒng)的三個(gè)典型模型：一階脈沖警戒線模型、脈沖時(shí)刻依賴于狀態(tài)的微分方程、二階脈沖警戒線模型。根據(jù)該類系統(tǒng)的特點(diǎn)，在不具有線性結(jié)構(gòu)的函數(shù)集中引進(jìn)一類恰當(dāng)?shù)膹V義解――溫和解，給出了溫和解的局部存在唯一性、解的極大存在區(qū)間、解的整體存在唯一性和解的脈搏現(xiàn)象。特別，對(duì)于一般的脈沖時(shí)刻依賴于狀態(tài)的微分方程，從脈沖曲線與發(fā)展方程所生成的半流之間的幾何關(guān)系出發(fā)，導(dǎo)出了存在溫和解的充分條件，也在分?jǐn)?shù)次冪空間中討論上述對(duì)應(yīng)的

5、脈沖時(shí)刻依賴于狀態(tài)的時(shí)變微分系統(tǒng)，獲得了溫和解更多的信息。
　　為了在較弱條件下較為系統(tǒng)地討論兼具微分方程、差分方程、脈沖方程特征的時(shí)標(biāo)脈沖動(dòng)力系統(tǒng)及其最優(yōu)控制，首先推廣指數(shù)函數(shù)。為了獲得解的先驗(yàn)估計(jì)，給出了一系列時(shí)標(biāo)上帶臨界指數(shù)和積分算子的脈沖型廣義Gronwall不等式。對(duì)方程的右端函數(shù)不依賴于xσ的半線性脈沖動(dòng)力系統(tǒng)，引進(jìn)一類恰當(dāng)?shù)膹V義解――弱解，充分考慮時(shí)標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，用壓縮原理證明了弱解的存在唯一性；對(duì)方程的右端函數(shù)依賴

6、于xσ的半線性脈沖動(dòng)力系統(tǒng)和脈沖單純型積微分方程，先用Leary-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、帶臨界指數(shù)和積分算子的脈沖型Gronwall不等式證明弱解的存在性，然后引進(jìn)新范數(shù)，用壓縮原理逐段證明了弱解的唯一性；對(duì)脈沖混合型積微分方程，用Leary-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、帶臨界指數(shù)和混合型積分算子的脈沖型Gronwall不等式證明了弱解的存在性?？紤]系統(tǒng)決定的最優(yōu)控制問(wèn)題，用新證明的時(shí)標(biāo)上積分泛函的L1?強(qiáng)?弱下半連續(xù)性，在非自反

7、空間L1T中獲得了最優(yōu)控制的存在性。用時(shí)標(biāo)上倒向脈沖型Gronwall不等式，給出了時(shí)標(biāo)脈沖微分方程的倒向問(wèn)題弱解的存在唯一性，用新推廣的分部積分公式導(dǎo)出了最優(yōu)化的必要條件。作為對(duì)照，同時(shí)考慮了另一類時(shí)標(biāo)脈沖動(dòng)力系統(tǒng)及其最優(yōu)控制。最后將所得結(jié)果應(yīng)用于連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題、離散最優(yōu)控制問(wèn)題、數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題和變分問(wèn)題。
　　總之，本文討論的三個(gè)問(wèn)題既有重要理論意義又有廣泛應(yīng)用前景，所得結(jié)果是對(duì)非線性脈沖發(fā)展方程及其最優(yōu)控制已有結(jié)果的拓展和補(bǔ)