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文檔簡(jiǎn)介
1、1953年,G.L.Waston利用篩法證明了如下結(jié)論:對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)α,令滿足(n,[αn])=1的自然數(shù)的密度為δ(α).當(dāng)α為無理數(shù)時(shí),有δ(α)=6/π2.當(dāng)α為有理數(shù)時(shí),設(shè)α=a/q,這里(a,q)=1,q>0,則δ(n)的值只依賴于q,此時(shí)δ(α)=q-1∑u-1Φ(u)6/π2(q→∞).1999年在布達(dá)佩斯舉行的主題為“Paul Erdos和他的數(shù)學(xué)”的會(huì)議上,一本名為《Some of Paul’s favorite pr
2、oblems》的小書廣為流傳.類似于G.L.Waston的文章[1],在文[2]中,Delmer和Deshouillers證明了如下結(jié)果:設(shè)c>0是一個(gè)非整數(shù)實(shí)數(shù),則滿足(n,[nc])=1的自然數(shù)的密度為6/π2.這一結(jié)論對(duì)上述書中由Moser,Lambek和Paul Erdos所提出的問題134給出了一個(gè)肯定的答案.
設(shè)x是一個(gè)充分大的實(shí)數(shù),令Nc(x)表示不超過x且滿足(n,[nc])=1的自然數(shù)n的個(gè)數(shù),則上述定理可以
3、重述為:Nc(x)=6/π2x+o(x).當(dāng)0
后來,翟文廣在文[4]利用指數(shù)和方法證明了如下結(jié)果:Nc(x)=6/π2x+O(x(1+λ+2ck)/(2+2k
4、)+ηx2-clogx,這里,c>1,(κ,λ)是滿足λ+(2c-2)κ<1的指數(shù)對(duì).當(dāng)1 5、δ=δ(c1,c2)>0成立.
本文研究了與[nc1],[nc2]互素的自然數(shù)的個(gè)數(shù),這里1
令n>1為整數(shù),a為整數(shù).若存在整數(shù)x使得a2x≡a(mod n),并稱a模n正則.令(ρ)(n)表示滿足1≤a≤n的模幾正則的整數(shù)a的個(gè)數(shù).L.Toth[11]證明了∑(n≤x)ρ(n)/φ(n)=Bx+O(log2x),這里B=π2/6≈1.6449.
設(shè)r≥1是固定整數(shù).在本文第二部分,我們研究函數(shù)(ρ(n)/φ(n))r的均值.我們有:
定理2設(shè)r≥1是固定整數(shù),則有
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