楊-巴克斯特方程在拓?fù)湮锢碇械膽?yīng)用.pdf

1、自從楊振寧和R.J.Baxter分別于1967年與1972年創(chuàng)建了量子楊-巴克斯特方程(簡(jiǎn)稱QYBE)以來，量子可積模型方面的研究取得了很大進(jìn)展，特別是V.G.Drinfeld所建立的Yangian和量子群理論對(duì)物理中的量子完全可積模型的對(duì)稱性研究提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。經(jīng)過幾十年的發(fā)展研究，目前，量子楊-巴克斯特方程、Temperley-Lieb代數(shù)及拓?fù)浠呀?jīng)被應(yīng)用到量子信息和量子計(jì)算領(lǐng)域。本論文主要將拓?fù)浠透黝愇锢砟Ｐ?，例如XX

2、X鏈模型聯(lián)系起來，探究了拓?fù)浠谶@些系統(tǒng)中的特殊物理性質(zhì);提出了Temperley-Lieb代數(shù)生成元的高維構(gòu)造方法;同時(shí)研究了拓?fù)鋮?shù)d和量子糾纏的關(guān)系;量子楊-巴克斯特系統(tǒng)中量子糾纏以及Berry幾何相的物理性質(zhì)，通過這些研究，有助于將量子楊-巴克斯特方程這個(gè)處理非線性量子系統(tǒng)可積問題的宏大理論更有效的應(yīng)用到相關(guān)物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，具有積極的意義。本論文共包括六章，其中工作主要是第二章至第六章。
　　第一章簡(jiǎn)單介紹了本文的研究背

3、景，研究的重要性，回顧了量子糾纏，Berry幾何相，量子楊-巴克斯特方程和拓?fù)浠陌l(fā)展歷程以及研究現(xiàn)狀，并且給出了兩體糾纏度量的公式及其基本性質(zhì)，Berry幾何相的簡(jiǎn)略推導(dǎo)。
　　第二章成功的將拓?fù)浠臀锢砟Ｐ?，例如XXX模型建立了聯(lián)系。也就是通過Temperley-Lieb代數(shù)的生成元構(gòu)造出相應(yīng)的哈密頓量，進(jìn)而使拓?fù)浠蔀楣茴D量的本征態(tài)，探究拓?fù)浠诓煌锢礞溎Ｐ椭芯哂械奶厥馕锢硇再|(zhì)。結(jié)果表明當(dāng)拓?fù)鋮?shù)d=2時(shí)，拓?fù)浠趯?duì)應(yīng)的

4、XXX鏈模型中具有的的特殊物理性質(zhì)為:這個(gè)系統(tǒng)的自旋單態(tài)和能量單態(tài)都落在了拓?fù)浠?。?dāng)拓?fù)鋮?shù)d=√2時(shí)，得到了一套正交完備的并且糾纏都是最大值的拓?fù)浠鶎?shí)現(xiàn)，這套基可以實(shí)現(xiàn)量子傳輸。拓?fù)浠谄湎鄳?yīng)的自旋鏈模型中具有的特殊物理性質(zhì)為:不管該系統(tǒng)是順磁的還是反磁的，能量基態(tài)都是二重簡(jiǎn)并的，并且基態(tài)都落在了拓?fù)浠稀?br>　　第三章系統(tǒng)的提出了n2×n2的、滿足Temperley-Lieb代數(shù)的、對(duì)應(yīng)單d=√n的矩陣U的構(gòu)造方法。用這個(gè)方法

5、，給出了9×9的、滿足Temperley-Lieb代數(shù)的、對(duì)應(yīng)單圈d=√3的矩陣U的具體表示，它是很有意義的:它可以被看作應(yīng)用到量子計(jì)算，特別是拓?fù)淠Ｐ头矫娣浅Ｖ匾睦樱诹孔有畔⒎矫嬗幸欢ǖ膬r(jià)值。同時(shí)還研究了相應(yīng)的楊-巴克斯特系統(tǒng)的量子糾纏。
　　第四章研究了拓?fù)渲凶钪匾耐負(fù)鋮?shù)d和糾纏的關(guān)系。結(jié)果表明當(dāng)d=n時(shí)，由兩個(gè)n維的量子系統(tǒng)構(gòu)成的投影態(tài)都是最大糾纏態(tài)，并且相應(yīng)的Temperley-Lieb代數(shù)的生成元U矩陣都是最大

6、矩陣。當(dāng)d≠n時(shí)，通過研究n=2和n=3的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)d→+∞時(shí)，投影態(tài)和相應(yīng)的U矩陣的糾纏都是趨于0的。然后研究了一個(gè)楊-巴克斯特系統(tǒng)的熱糾纏和糾纏突然死亡。熱糾纏的結(jié)果表明:拓?fù)鋮?shù)d不僅能影響臨界溫度Tc，還能影響這個(gè)系統(tǒng)取得的最大糾纏值。而且還發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋮?shù)d對(duì)糾纏突然死亡也有很大的影響。
　　第五章研究了9×9的楊-巴克斯特系統(tǒng)中的量子糾纏和Berry幾何相。首先構(gòu)造了一個(gè)滿足Heck代數(shù)關(guān)系的9×9的M矩陣。通過楊-巴克

7、斯特化方法，得到了一個(gè)9×9的、楊-巴克斯特方程的幺正解(R)（θ，(Ψ)1，(Ψ)2），此解在量子信息和量子糾纏中是非常有意義的:借助幺正的局域變換，通過R(θ，(Ψ)1，(Ψ)2)，任何純的兩個(gè)三維子系統(tǒng)形成的糾纏態(tài)都能生成。然后通過(R)矩陣構(gòu)造了相應(yīng)的哈密頓量，并研究了該楊-巴克斯特系統(tǒng)的Berry幾何相。結(jié)果表明當(dāng)參數(shù)(Ψ)1=(Ψ)2時(shí)，這個(gè)哈密頓量算符能夠借助三套SU(2)算符表示出來，并且能夠得到三個(gè)震蕩哈密頓量。在這個(gè)