關(guān)于樹的廣義Randic指標(biāo)極值問題.pdf

1、化學(xué)分子圖的拓?fù)渲笜?biāo)理論是組合化學(xué)的一個重要研究分支。計算化學(xué)家通過大量的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法給出了分子的各種物理化學(xué)性質(zhì)與它的指標(biāo)值之間的數(shù)量關(guān)系。1975年，著名化學(xué)家Randic在研究分子結(jié)構(gòu)時引入了(分子)圖的一個重要的拓?fù)渲笜?biāo)，即Randic指標(biāo)(也稱為連通性指標(biāo))。這一重要的拓?fù)渲笜?biāo)與分子的物理化學(xué)性質(zhì)(如分子的沸點、表面積等)有著極為密切的關(guān)系，因而得到了化學(xué)家的特別重視。
　　 對于Randic指標(biāo)的研究一開始只是在

2、化學(xué)界很盛行，而不為數(shù)學(xué)家所重視。對于Randic指標(biāo)數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究主要開始于Fajtlowicz利用“Graffiti”這一計算機程序得到了關(guān)于Randic指標(biāo)值和圖的不變量之間關(guān)系的許多猜想。但對于那些很難被證明或推翻的猜想，似乎大多數(shù)數(shù)學(xué)家并沒有注意到其中所蘊含的困難與樂趣。
　　 1998年，Bollobas和Erdos提出了廣義Randic指標(biāo)Rα(G)=∑uv∈E(G)(d(u)d(v))α，其中α為任意實數(shù)，d(u

3、)為圖G中頂點u的度數(shù)。這個關(guān)于Randic指標(biāo)的推廣可以視為研究Randic指標(biāo)數(shù)學(xué)性質(zhì)的一個重要轉(zhuǎn)折點，它使Randic指標(biāo)真正為數(shù)學(xué)家所熟悉。越來越多的研究者開始深入探討各種圖類的(廣義)Randic指標(biāo)值，而不再僅局限于對化學(xué)圖的研究。
　　 近年來，對于廣義Randic指標(biāo)的研究主要集中在以下問題：對于某些給定的圖類和α值，如何求出最大或者最小的廣義Randic指標(biāo)值?如何刻畫這些極值所對應(yīng)的極圖?
　　 本文

4、主要研究某些特定樹的廣義Randic指標(biāo)的極值以及對應(yīng)的極圖刻畫問題。論文分為兩部分，第一部分主要研究化學(xué)樹的最小廣義Randic指標(biāo)值問題，第二部分主要研究一般樹的最大或者最小廣義Randic指標(biāo)值問題。
　　 第一部分是第二章。我們主要運用歸納法和線性規(guī)劃的方法來研究給定頂點數(shù)和懸掛點數(shù)的化學(xué)樹的最小廣義Randic指標(biāo)值。當(dāng)α≤-1時，我們得到最小廣義Randic指標(biāo)值的一個下界并舉例說明這一下界是最好的。對于其它情況，我

5、們給出最小廣義Randic指標(biāo)值并且完全刻畫出達到這些極值的所有極圖。
　　 本文的第二部分由第三章和第四章組成。在第三章中，我們考慮給定頂點數(shù)和直徑大小的樹。對于0<α<1，我們得到這一圖類的最大廣義Randic指標(biāo)值并且給出達到極值的所有極圖。類似地，我們得到當(dāng)-1≤α<0時的最小廣義Randic指標(biāo)值以及對應(yīng)的極圖。這表明Aouchiche，Hansen和Zheng提出的一個關(guān)于給定頂點數(shù)和直徑大小的連通圖的猜想對于樹是成