關(guān)于樹的廣義Randic指標(biāo)極值問題.pdf

1、化學(xué)分子圖的拓?fù)渲笜?biāo)理論是組合化學(xué)的一個(gè)重要研究分支。計(jì)算化學(xué)家通過大量的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)方法給出了分子的各種物理化學(xué)性質(zhì)與它的指標(biāo)值之間的數(shù)量關(guān)系。1975年，著名化學(xué)家Randic在研究分子結(jié)構(gòu)時(shí)引入了(分子)圖的一個(gè)重要的拓?fù)渲笜?biāo)，即Randic指標(biāo)(也稱為連通性指標(biāo))。這一重要的拓?fù)渲笜?biāo)與分子的物理化學(xué)性質(zhì)(如分子的沸點(diǎn)、表面積等)有著極為密切的關(guān)系，因而得到了化學(xué)家的特別重視。
　　 對(duì)于Randic指標(biāo)的研究一開始只是在

2、化學(xué)界很盛行，而不為數(shù)學(xué)家所重視。對(duì)于Randic指標(biāo)數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究主要開始于Fajtlowicz利用“Graffiti”這一計(jì)算機(jī)程序得到了關(guān)于Randic指標(biāo)值和圖的不變量之間關(guān)系的許多猜想。但對(duì)于那些很難被證明或推翻的猜想，似乎大多數(shù)數(shù)學(xué)家并沒有注意到其中所蘊(yùn)含的困難與樂趣。
　　 1998年，Bollobas和Erdos提出了廣義Randic指標(biāo)Rα(G)=∑uv∈E(G)(d(u)d(v))α，其中α為任意實(shí)數(shù)，d(u

3、)為圖G中頂點(diǎn)u的度數(shù)。這個(gè)關(guān)于Randic指標(biāo)的推廣可以視為研究Randic指標(biāo)數(shù)學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它使Randic指標(biāo)真正為數(shù)學(xué)家所熟悉。越來越多的研究者開始深入探討各種圖類的(廣義)Randic指標(biāo)值，而不再僅局限于對(duì)化學(xué)圖的研究。
　　 近年來，對(duì)于廣義Randic指標(biāo)的研究主要集中在以下問題：對(duì)于某些給定的圖類和α值，如何求出最大或者最小的廣義Randic指標(biāo)值?如何刻畫這些極值所對(duì)應(yīng)的極圖?
　　 本文

4、主要研究某些特定樹的廣義Randic指標(biāo)的極值以及對(duì)應(yīng)的極圖刻畫問題。論文分為兩部分，第一部分主要研究化學(xué)樹的最小廣義Randic指標(biāo)值問題，第二部分主要研究一般樹的最大或者最小廣義Randic指標(biāo)值問題。
　　 第一部分是第二章。我們主要運(yùn)用歸納法和線性規(guī)劃的方法來研究給定頂點(diǎn)數(shù)和懸掛點(diǎn)數(shù)的化學(xué)樹的最小廣義Randic指標(biāo)值。當(dāng)α≤-1時(shí)，我們得到最小廣義Randic指標(biāo)值的一個(gè)下界并舉例說明這一下界是最好的。對(duì)于其它情況，我

5、們給出最小廣義Randic指標(biāo)值并且完全刻畫出達(dá)到這些極值的所有極圖。
　　 本文的第二部分由第三章和第四章組成。在第三章中，我們考慮給定頂點(diǎn)數(shù)和直徑大小的樹。對(duì)于0<α<1，我們得到這一圖類的最大廣義Randic指標(biāo)值并且給出達(dá)到極值的所有極圖。類似地，我們得到當(dāng)-1≤α<0時(shí)的最小廣義Randic指標(biāo)值以及對(duì)應(yīng)的極圖。這表明Aouchiche，Hansen和Zheng提出的一個(gè)關(guān)于給定頂點(diǎn)數(shù)和直徑大小的連通圖的猜想對(duì)于樹是成