拋物方程的有限差分區(qū)域分解算法.pdf

1、在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，很多現(xiàn)象是用拋物型方程或者方程組來(lái)描述的，如描述熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散等物理現(xiàn)象的熱傳導(dǎo)方程就是最典型的拋物型方程.用最傳統(tǒng)的有限差分方法來(lái)求解這樣的拋物型方程，經(jīng)受著越來(lái)越大規(guī)模計(jì)算的考驗(yàn).因此，將求解的區(qū)域劃分為若干小的子區(qū)域，用并行有限差分方法來(lái)求解拋物型問(wèn)題具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值. 本文首先對(duì)區(qū)域分解算法給出一個(gè)簡(jiǎn)要的介紹.區(qū)域分解算法是上個(gè)世紀(jì)八十年代崛起的新方向，它是并行求解大型偏微分方程的有效方

2、法.區(qū)域分解算法特別受關(guān)注是因?yàn)樗哂衅渌椒o(wú)法比擬的優(yōu)越性.區(qū)域分解算法目前仍處于發(fā)展階段，美國(guó)、蘇聯(lián)、法國(guó)、意大利都形成了自己的流派0根據(jù)對(duì)求解區(qū)域的不同剖分，形成不同的區(qū)域分解算法，例如不重疊區(qū)域分解算法、重疊區(qū)域分解算法、虛擬區(qū)域法、多水平方法等等.許多物理和力學(xué)的問(wèn)題都可歸結(jié)為拋物型方程的求解，上個(gè)世紀(jì)九十年代以來(lái)，拋物方程有限差分區(qū)域分解算法得到了發(fā)展.C.N.Dawson，Qiang Du和T.F.Dupont[1]，袁

3、光偉、沈隆軍和周毓麟[3]，張室琳，萬(wàn)正蘇[5]等人先后都對(duì)拋物方程作了比較詳細(xì)和深刻的研究.最后，簡(jiǎn)要的介紹了我們給出的拋物方程的區(qū)域分解算法. 一維拋物方程： {()u/()t-()zu/()x2=0,x∈(0,1),t∈)0,T],u(x,0)=u0(x),x∈(0,1),u(0,t)=u(1,t)=0,t∈(0,T],其中u是拋物方程的解. 在給出Dawson等人拋物方程算法的基礎(chǔ)上，文章針對(duì)拋物方程提出

4、一種新的高精度的區(qū)域分解方法，在時(shí)間上采用有限差分，在空間上，對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行剖分，從而形成多個(gè)子區(qū)域，在子區(qū)域的內(nèi)邊界點(diǎn)上關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)利用空間大步長(zhǎng)Du Fort-Frankel格式，在子區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)采用三點(diǎn)中心差分全隱式格式，并對(duì)此進(jìn)行并行化實(shí)現(xiàn)和分析. 我們構(gòu)造的格式具有良好的穩(wěn)定性.下面給出算法: 算法： Uni=uni,于邊界點(diǎn)Un+1i-Un-1i/2τ-Uni=D-(Un+1i=Un-1i)+Un

5、i-D/H2=0,于子區(qū)域內(nèi)邊界點(diǎn),n=1,2,…,MUn+1i-Uni/τ-Un+1i+1-2Un+1i+Un+1i-1/h2=0,于內(nèi)點(diǎn)，n=0,1,…,M,Un+1i-Uni/τ-Uni+D-2Uni+Uni-D/H2=0,于子區(qū)域內(nèi)邊界點(diǎn)，n=0,本文針對(duì)上述算法進(jìn)行穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行理論分析和數(shù)值算例的模擬.充分證明了此算法是一個(gè)具有并行本性的差分格式，而且還具有與全隱格式相同的二階精度.當(dāng)網(wǎng)格比很大時(shí)，此算法格式仍然比較穩(wěn)定

6、.這比較適合大型科學(xué)工程計(jì)算的要求. 二維拋物方程： {()u/()t-△u=0(x,y)∈Ω,t∈(0,T],u(x,y,t)=0,()Ω,t∈(0,T],u(x,y,0)=u0,(x,y)∈Ω,其中u是拋物方程的解，且△u=()2u/()x2+()2u/()y2，Ω=(0，1)X(0，1). 將在一維得到的格式推廣到二維，得到一個(gè)新的二維有限差分顯式格式，發(fā)展了新的算法. 算法： Uni,j=

7、uni,j: 于邊界點(diǎn)Un+1i,j-Un-1i,j-Uni+D,j-(Un+1i,j+Un-1i,j)+Uni-D,j/H2-Uni,j+1-(Un+1i,j+Un-1i.j)+Uni,j-1=0,/h2于內(nèi)邊界點(diǎn)，n=1，2，…，MUn+1i,j-Uni,j/τ-Un+1i+1,j-2Un+1i,j+Un+1i-1,j/h2-Un+1i,j+1-2Un+1i,j+Un+1i,j-1=0,于內(nèi)點(diǎn)，n=0，1，…，M，Un+1i,j-U

8、ni,j-Uni+D,j-2Uni,j+Uni-D.j/H2-Uni,j+1-2Uni,j+Uni,j-1=0,/h2于子區(qū)域內(nèi)邊界點(diǎn)，n：0，此算法格式仍然是一個(gè)具有良好穩(wěn)定性的并行本性的差分格式. 全文共四章，組織結(jié)構(gòu)如下: 第一章為引言，簡(jiǎn)要介紹了區(qū)域分解算法的發(fā)展和熱傳導(dǎo)方程有限差分區(qū)域分解算法的概況以及本文所討論的基本內(nèi)容. 在第二章，我們首先給出Dawson和盛志強(qiáng)等人的內(nèi)邊界點(diǎn)處理方法，得到關(guān)于求解

9、一維常系數(shù)拋物方程區(qū)域分解算法的誤差估計(jì).在給出Dawson等人拋物方程算法的基礎(chǔ)上，本文針對(duì)拋物方程提出一種新的高精度的區(qū)域分解方法，在時(shí)間上采用有限差分，在空間上，對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行剖分，從而形成多個(gè)子區(qū)域，在子區(qū)域的內(nèi)邊界點(diǎn)上關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)利用空間大步長(zhǎng)Du Fort-Frankel格式，在子區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)采用三點(diǎn)中心差分全隱式格式，并對(duì)此進(jìn)行并行化實(shí)現(xiàn)和分析.我們構(gòu)造的算法格式具有良好的穩(wěn)定性和具有與全隱格式相同的二階精度.最后證明

10、了這些很好的性質(zhì). 第三章研究了二維拋物問(wèn)題.我們首先將在一維得到的格式推廣到二維，得到一個(gè)新的二維有限差分顯式格式，它和全隱格式有相同的精度，在時(shí)間上采用有限差分，在空間上，對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行剖分，從而形成多個(gè)子區(qū)域，在子區(qū)域的內(nèi)邊界點(diǎn)上關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)利用空間大步長(zhǎng)Du Fort-Frankel格式，在子區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)采用三點(diǎn)中心差分全隱式格式，并對(duì)此進(jìn)行并行化實(shí)現(xiàn)和分析.對(duì)二維拋物問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)區(qū)域分解算法.它的穩(wěn)定性條件和精度