橢圓偏微分方程解的水平集的凸性.pdf

1、凹凸性是幾何對(duì)象的一種基本特性,在光滑情形也是一種可以通過(guò)微分來(lái)描述的特性,因而凸性的研究既是幾何研究的需要,也使得它跟分析產(chǎn)生自然的聯(lián)系,從而凸性也成為分析研究的重要內(nèi)容；不僅如此,隨著對(duì)偏微分方程研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)有時(shí)凸性亦是研究方程本身的需要,例如自由邊界問(wèn)題(見后文)。因此,凸性研究不僅有著長(zhǎng)久的歷史,也越來(lái)越成為人們感興趣的問(wèn)題。在研究微分方程的凸性時(shí),通常可分為研究方程解本身的凸性和解的水平集的凸性,解的凸性可導(dǎo)出水平集的

2、凸性,從這一角度來(lái)說(shuō),水平集的凸性是更精細(xì)的問(wèn)題。本文對(duì)偏微分方程中研究凸性的歷史做一些總結(jié),利用經(jīng)典的極值原理,首先給出一類低維p-調(diào)和函數(shù)的水平集凸性的定量估計(jì)。同時(shí),常秩定理是處理關(guān)于凸性問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力工具,它在偏微分方程解的幾何性質(zhì)及微分幾何中的應(yīng)用有著深刻意義。本文亦對(duì)預(yù)定平均曲率超曲面的水平集的常秩定理作了嘗試。另外,我們對(duì)低維極小超曲面的水平集凸性亦作了估計(jì),并發(fā)現(xiàn)了與二維極小超曲面水平線有關(guān)的一些調(diào)和或下調(diào)和函數(shù),由此

3、可同時(shí)得到其水平集嚴(yán)格凸性的新證明。最后,我們用分部積分法研究完全非線性問(wèn)題,給出了一類Hessian不等式不存在性結(jié)果的新證明。主要結(jié)果如下：定理0.0.1.設(shè)u為R2中區(qū)域Ω上的p-調(diào)和函數(shù),即滿足方程div(｜△u｜p-2△u)=0 in Ω. (0.0.1)且｜△u｜≠0,u的水平集凸,則當(dāng)3/2≤P≤3時(shí),u的水平集的高斯曲率不能在Ω內(nèi)部取到最小值,除非是常數(shù)。定理0.0.2.設(shè)u為R3中區(qū)域Ω上的p-調(diào)和函數(shù),即滿足方程di

4、v(｜△u｜p-2△u)=0 in Ω. (0.0.2)且｜△u｜≠0,u的水平集嚴(yán)格凸,則當(dāng)p≥2時(shí),u的水平集的高斯曲率不能在Ω內(nèi)部取到最小值,除非是常數(shù)。定理0.0.3.(相關(guān)術(shù)語(yǔ)見后文)設(shè)M2為R3中極小曲面,若M2的相對(duì)于ζ方向的高度函數(shù)u無(wú)臨界點(diǎn),即｜△u｜≠0,相應(yīng)水平線的曲率為K,最速下降線的曲率為G,則(i)｜△u｜-1K、｜△u｜-1G是M2上的調(diào)和函數(shù)。(ii)ln1/｜K｜、ln1/｜G｜均是M2上的下調(diào)和函數(shù)。

5、 對(duì)于三維極小超曲面,我們也有如下的水平集凸性的定量估計(jì)：定理0.0.4.設(shè)M3為R4中極小超曲面,若M3的相對(duì)于ζ方向的高度函數(shù)無(wú)臨界點(diǎn),水平集均為局部嚴(yán)格凸的,則水平集的高斯曲率不能在M3內(nèi)部取到最小值,除非是常數(shù)。 推論0.0.5.若M3為R3中凸環(huán)上具有齊Dirichlet邊界條件(見(1.1.4)的說(shuō)明)的極小圖,則M3的水平集的高斯曲率不能在M3內(nèi)部取到最小值。 設(shè)Mn為Rn+1中的光滑超曲面,X:M

6、→Rn+1為浸入,滿足方程H=-f(X,N) (0.0.3)其中H是Mn的平均曲率,N是Mn在X處的單位法向量,f為光滑函數(shù)。任取Rn+1中的單位向量ζ,則相對(duì)于ζ方向Mn的高度函數(shù)可表達(dá)為u(X)=〈X,ζ〉,其中〈·,·〉表示Rn+1中歐氏內(nèi)積,于是,相應(yīng)于ζ方向、高度為t的Mn的水平集表示為St={X ∈Mn｜u(X)=t} (0.0.4)利用上述記號(hào),關(guān)于超曲面水平集的常秩定理可敘述為： 定理0.0.6.對(duì)于上述(0.0

7、.3)預(yù)定平均曲率的連通超曲面Mn,若Mn的相對(duì)于ζ方向的高度函數(shù)u無(wú)臨界點(diǎn),即｜(△)u｜≠0,且水平集均為局部凸的,即水平集的第二基本形式半正定,則當(dāng)f>0且f-1/2是凹函數(shù)時(shí),水平集的第二基本形式取常秩。 除了研究偏微分方程解的凸性以外,我們還用分部積分的方法,重新證明了一個(gè)著名定理。具體敘述如下： 對(duì)Hessian不等式：σk(-D2u)≥uα in Rn. (0.0.5)其中σr(A)表示n×n階對(duì)稱矩陣A的