幾類時(shí)滯偏微分方程解的漸近行為研究.pdf

1、本篇博士論文主要研究如下三類帶有時(shí)滯項(xiàng)的發(fā)展方程解的漸近行為:
　　(1)帶有時(shí)滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程(此處公式省略)
　　(2)帶有時(shí)滯項(xiàng)的p-Laplacian方程（此處公式省略）
　　(3)帶有時(shí)滯項(xiàng)的弱耗散波方程（此處公式省略）
　　其中τ∈ R,常數(shù)η>0。g是作用在帶有某種遺傳特征的解上的算子。k(·)是依賴于時(shí)間的外力項(xiàng),?是區(qū)間[τ?h,τ]上的函數(shù)。h(>0)是時(shí)滯影響的長(zhǎng)度,且對(duì)任給的t≥τ

2、,我們用 ut表示定義在[?h,0]上,滿足 ut(θ)=u(t+θ)(其中θ∈[?h,0])的函數(shù).
　　本文的主要工作是對(duì)上述三類帶有時(shí)滯項(xiàng)的發(fā)展方程在非線性項(xiàng)f滿足臨界或某種超臨界增長(zhǎng)時(shí)建立拉回吸引子的存在性。
　　論文共分為六章:
　　在第三章,我們對(duì)帶有時(shí)滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性問(wèn)題作了系統(tǒng)的討論.非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程可以說(shuō)是介于拋物方程和波方程之間的一類特殊方程,如果對(duì)這類方程加上擾動(dòng)系數(shù),

3、則可以把拋物方程和波方程聯(lián)系起來(lái),從而研究其動(dòng)力學(xué)行為有著特殊的意義.在這一章,我們考慮非線性項(xiàng)f滿足臨界增長(zhǎng)和任意p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長(zhǎng)兩種情形.當(dāng)f滿足臨界增長(zhǎng)時(shí),我們通過(guò)設(shè)計(jì)特殊的分解來(lái)克服臨界指數(shù)和時(shí)滯項(xiàng)g(t。ut)所帶來(lái)的困難,得到過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ在 CH10(?)上的漸近緊性;當(dāng) f為任意 p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長(zhǎng)時(shí),我們首先運(yùn)用 Faedo-Galerkin方法證明解的存在唯一性,然后構(gòu)造具體的能量不

4、等式來(lái)驗(yàn)證過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ在 CH10(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上拉回吸引子的存在性。
　　在第四章,我們考慮帶有時(shí)滯項(xiàng)的p-Laplacian方程,其中非線性項(xiàng)f滿足任意p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長(zhǎng). p-Laplacian方程為一類強(qiáng)耗散拋物方程,其主部算子為擬線性。由于時(shí)滯項(xiàng)g(t。ut)的非自治固有性,以及非自治外力項(xiàng)k(·)的時(shí)間相關(guān)性,使得許多對(duì)于半線性拋物方程適用的方法、

5、技巧不能再直接應(yīng)用,從而我們?cè)谘芯吭搯?wèn)題,尤其是在驗(yàn)證其解過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ的緊性時(shí)遇到較大的困難.在這一章,我們首先建立解的適定性,然后通過(guò)構(gòu)造特殊的能量泛函來(lái)驗(yàn)證相應(yīng)過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上拉回吸引子的存在性。
　　在第五章,我們研究帶有時(shí)滯項(xiàng)的弱耗散波方程,其中非線性項(xiàng)f滿足臨界增長(zhǎng).弱耗散波方程,尤其是帶有臨界非線性項(xiàng)的弱耗散波方程是一類典型的

6、弱耗散方程,無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)理論、方法發(fā)展過(guò)程中許多經(jīng)典的工作都是將其作為研究對(duì)象來(lái)提出的,我們研究其動(dòng)力學(xué)行為同樣具有重要的意義.在這一章,我們通過(guò)構(gòu)造能量泛函并結(jié)合收縮函數(shù)方法的思想證明過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)× CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)× CL2(?)上拉回吸引子的存在性。
　　最后,在第六章,基于所取得的研究成果,作為對(duì)所研究問(wèn)題后續(xù)發(fā)展的思考,我們列出部分我們將