幾類(lèi)非線性偏微分方程解法及解的性質(zhì)的探討.pdf

1、本碩士論文借助于計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple和Mathematica，以微分方程理論為基礎(chǔ)，研究了非線性弦振動(dòng)方程和一類(lèi)變系數(shù)Boussinesq方程的Painlevé檢驗(yàn)、非線性弦振動(dòng)方程和一類(lèi)變系數(shù)Boussinesq方程的相似約化、一類(lèi)反應(yīng)擴(kuò)散方程的首次積分解法等問(wèn)題，并取得了一些新穎而又有意義的成果。
　　 隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，非線性科學(xué)在各領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了一系列可喜的成果。由于非線性問(wèn)題常

2、常用非線性偏微分方程來(lái)描述，這使得非線性偏微分方程也越來(lái)越與其它學(xué)科密切相連，因而非線性偏微分方程的求解和對(duì)其解的性質(zhì)的研究成為了理論和實(shí)踐中一個(gè)備受關(guān)注的研究課題。
　　 由于非線性偏微分方程的復(fù)雜性，至今仍有大量的偏微分方程無(wú)法求出精確解。雖然已經(jīng)求出很多微分方程的精確解，但是求解方法也是各有技巧，至今尚無(wú)一般的求解方法。因此為了給數(shù)值計(jì)算等方法提供理論依據(jù)或討論偏微分方程的解可能具有的性質(zhì)，人們有時(shí)不求解方程而直接研究偏微

3、分方程解的特性。
　　 完全可積的非線性偏微分方程往往具有Painlevé性質(zhì)、B(a)cklund變換、Darboux變換、Lax對(duì)等一些非常好的特性。一個(gè)偏微分方程完全可積當(dāng)且僅當(dāng)它可以用反演散射法求解，然而卻沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的方法來(lái)確定一個(gè)微分方程是否可以用反演散射法求解。Weiss、Tabor和Carnevale提出的WTC算法是檢驗(yàn)一個(gè)偏微分方程(組)是否具有Painlevé性質(zhì)的方法。如果一個(gè)方程(組)通過(guò)Painlev

4、é檢驗(yàn)，它將滿(mǎn)足完全可積的必要條件；反之，則方程(組)不是完全可積的。
　　 經(jīng)典無(wú)窮小約化是求非線性偏微分方程解析解的一個(gè)重要的方法，這種方法用單參數(shù)變換群使微分方程降階，并求得其相似解。1989年，Clarkson與Kruskal在研究Boussinesq方程的相似解時(shí)提出了CK直接方法，這種方法不涉及群論的思想，它直接尋求方程形如u(x，t)=U(x，t，w(z(x，t)))形式的解。
　　 2002年，馮兆生在研

5、究Burgers-KdV方程的精確解時(shí)提出了首次積分法，這是基于除法定理和Hilbert零點(diǎn)定理的一種求方程精確解的方法。
　　 基于上述理論和方法本文完成了以下三個(gè)方面的工作：一、應(yīng)用WTC算法對(duì)非線性弦振動(dòng)方程和描述順流方向可變剪切流動(dòng)的一類(lèi)變系數(shù)Boussinesq方程作了Painlevé分析，得到了弦振動(dòng)方程具有Painlevé性質(zhì)和變系數(shù)Boussinesq方程在系數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足一定約束條件的情況下具有Pai

6、nlevé性質(zhì)的結(jié)論，同時(shí)也得到了這兩個(gè)方程的B(a)cklund變換。二、應(yīng)用經(jīng)典相似約化方法對(duì)弦振動(dòng)方程作了相似約化，得到了其相似解和相似約化；應(yīng)用CK直接方法對(duì)弦振動(dòng)方程和變系數(shù)Boussinesq方程作了相似約化，分別得到了它們的相似解和相似約化；并且得到了這兩個(gè)方程的一些新的顯式解。三、應(yīng)用首次積分法求解了一類(lèi)反應(yīng)擴(kuò)散方程，得到了其新的精確解。以上述第二部分內(nèi)容為基礎(chǔ)的學(xué)術(shù)論文《非線性弦振動(dòng)方程的相似約化》已被《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》