正曲率黎曼流形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究.pdf

1、本文的主要工作是運(yùn)用體積比較定理，Toponogov三角形比較定理雙曲幾何上的余弦定理和幾何、拓?fù)涞幕局R研究正曲率黎曼流形上的球面定理和微分球面定理。得到結(jié)論如下：
　　1.設(shè)M是緊致單連通的2n維的黎曼流形，存在僅依賴于2n的正常數(shù)η，其截曲率KM滿足0

2、i滿足limi→∞di=π。第二步主要運(yùn)用體積比較定理，Toponogov三角形比較定理和雙曲幾何上的余弦定理證明limi→∞di=0，與第一步的結(jié)論矛盾，所以假設(shè)不成立，即得主要定理成立。這個(gè)結(jié)論證明了截面曲率加以限制，體積條件進(jìn)一步放松時(shí)，球面定理依然成立。
　　2.M是n維完備連通的黎曼流形，對任意n≥2，存在僅依賴于n的ε(n)>0，使得對任意ε≤ε(n)，若其徑向曲率Kminp≥1，Ricci曲率RicM≥n-1，共軛半

3、徑ρ(M)≥π/2，且M包含長為2(π-ε)的測地回路，則M微分同胚于單位球面Sn。這個(gè)定理的結(jié)果是由幾個(gè)結(jié)論直接推出的。根據(jù)定理得Rad(M)≥π-ε()dGH(M，Sn)≤εn()M微分同胚于單位球面Sn，其中Rad(M)=minxεMmaxyεMd(x，y)。根據(jù)引理能證明Rad(M)≥π-ε。即曲率條件減弱，M依然微分同胚于單位球面Sn。
　　直接應(yīng)用定理還可得出下面兩個(gè)推論：
　　(1)若M是n維完備黎曼流形，存在