一類分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系的構(gòu)造與應(yīng)用.pdf

1、信號(hào)與圖像處理的應(yīng)用中,正交變換的本質(zhì)是把待處理的信號(hào)(或圖像)用一組正交基表示,然后在“頻率”域中對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行分析與處理,由于正交變換去相關(guān)能力強(qiáng),變換系數(shù)的信息冗余少,因此,正交變換被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)與圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域。如何選擇一組合適的正交基是正交變換研究的基本問(wèn)題,U系統(tǒng)(也稱二進(jìn)制U系統(tǒng),BU系統(tǒng))和V系統(tǒng)(也稱二制V系統(tǒng),BV系統(tǒng))是L2([0,1])上的一類完備的分段多項(xiàng)式正交系,用BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)表示一類分段連續(xù)的

2、信號(hào)時(shí),不會(huì)出現(xiàn)Fourier三角基的Gibbs現(xiàn)象,且收斂速度優(yōu)于Walsh函數(shù)系,鑒于U系統(tǒng)與V系統(tǒng)的這種優(yōu)良的數(shù)據(jù)逼近性能,本文系統(tǒng)地研究了分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系的構(gòu)造、性質(zhì)、計(jì)算及其應(yīng)用。
　　 首先,我們研究了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)之間的關(guān)系,證明了BU系統(tǒng)的基可以表示為Walsh矩陣(或倒Walsh矩陣)與BV系統(tǒng)的基的乘積,緊接著,證明了二進(jìn)制U系統(tǒng)的構(gòu)造算法可以構(gòu)造一類分段多項(xiàng)式多小波(BVLets),而B(niǎo)V系統(tǒng)的本質(zhì)

3、是L2([0,1]上的分段多項(xiàng)式多小波,從而得到了用多小波級(jí)聯(lián)算法計(jì)算BU正交變換與BV正交變換的計(jì)算方案,反過(guò)來(lái),通過(guò)直接計(jì)算BV變換可以得到BVLets的多小波分解,這時(shí)并不需要對(duì)輸入數(shù)據(jù)預(yù)處理。另外,我們也給出了BVLets多小波分解的預(yù)處理方案,且推導(dǎo)出了計(jì)算BU變換的計(jì)算公式和基值的計(jì)算公式,為計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)BU變換提供了明確的表達(dá)式。
　　 其次,本文繼續(xù)拓展了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng),構(gòu)造出一類新的四進(jìn)制分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系

4、(簡(jiǎn)稱為QU系統(tǒng)),并給出一組QU系統(tǒng)的函數(shù)生成元的顯式表達(dá)式。然后研究了它的正交性、收斂性,證明QU系統(tǒng)是L2([0,1])上的一類完備的正交函數(shù)系,并推導(dǎo)出QU系統(tǒng)的基值的計(jì)算公式與QU變換的計(jì)算公式。另外一方面,QU系統(tǒng)的構(gòu)造算法可以構(gòu)造出一類L2(R)上的四進(jìn)制分段多項(xiàng)式多小波(簡(jiǎn)稱QVLets),若限制在[0,1]區(qū)間上,則可以得到一類L2([0,1])上的完備的分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系(簡(jiǎn)稱為QV系統(tǒng)),并建立了QU系統(tǒng)與QV系

5、統(tǒng)之間顯式關(guān)系,從而可以通過(guò)QvLets的級(jí)聯(lián)算法計(jì)算QU變換。緊接著,我們繼續(xù)討論了n(n是偶數(shù))進(jìn)制U系統(tǒng)的構(gòu)造,由于n進(jìn)制U系統(tǒng)的構(gòu)造算法所構(gòu)造的函數(shù)生成元是n進(jìn)制分段多項(xiàng)式多小波,反過(guò)來(lái),我們用n進(jìn)制多小波的雙尺度方程導(dǎo)出函數(shù)生成元的求解方程。因此,n進(jìn)制系統(tǒng)的構(gòu)造算法可以構(gòu)造一類n進(jìn)制的V系統(tǒng)與刀進(jìn)制的分段多項(xiàng)式多小波,但不一定能構(gòu)造出n進(jìn)制正交U系統(tǒng),進(jìn)一步地,我們得到了構(gòu)造療進(jìn)制正交U系統(tǒng)的充分必要條件。
　　 第

6、三,本文嘗試把分段多項(xiàng)式正交系應(yīng)用于圖像處理與圖像分析中,研究BU變換的JPEG編碼算法,并取得了與DCT相當(dāng)?shù)膱D像編碼結(jié)果,通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)3次BU變換的去相關(guān)性能、編碼增益與DCT相同。然后,研究BU變換的可逆分解,結(jié)合SPIHT圖像編碼算法對(duì)圖像進(jìn)行無(wú)損壓縮,其壓縮效果與JPEG-LS基本一致。另外,為了避免編碼過(guò)程中的量化處理,提出了基于全相位Bu變換的圖像編碼方法,在高壓縮比的情況下,重構(gòu)圖像的效果明顯地優(yōu)于JPEG。
　　

7、 最后,研究用分段多項(xiàng)式正交基表示幾何圖形與圖像的輪廓線,并得到了一類新的分段多項(xiàng)式描述子,它是一類基于尺度、平移、旋轉(zhuǎn)變換的不變量。然后,結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),用QV描述子對(duì)圖像進(jìn)行分類與識(shí)別,并對(duì)MPEG7_CE-1中的圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明在相同的實(shí)驗(yàn)條件下,3次QV描述子的識(shí)別率要優(yōu)于Fourier描述子。另一方面,本文用分段多項(xiàng)式正交基作為過(guò)程神經(jīng)元構(gòu)造一類分段多項(xiàng)式正交基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,在函數(shù)逼近方面,BV神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度

8、明顯地優(yōu)于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Legendre正交基網(wǎng)絡(luò),特別是逼近一類間斷函數(shù)時(shí),其優(yōu)勢(shì)更加明顯,而QV神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近效率優(yōu)于BV神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它可以克服BV神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近連續(xù)函數(shù)時(shí)的“奇異”現(xiàn)象。
　　 綜上所述,本文重點(diǎn)研究了二進(jìn)制分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系的計(jì)算問(wèn)題,研究了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)之間的關(guān)系,簡(jiǎn)化了它們的計(jì)算。同時(shí),構(gòu)造了一類新的QU系統(tǒng)與QV系統(tǒng),用QV系統(tǒng)或QU系統(tǒng)逼近幾何圖形時(shí),不會(huì)出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象,