幾類常系數線性微分方程解法討論【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數學與應用數學</b></p><p>　　幾類常系數線性微分方程解法討論　　　</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解

2、決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學、物理、電子技術、等領域都有著廣泛的應用。微分方程的首要問題是如何求一個給定方程的通解或特解。到目前為止，人們已經對許多微分方程得出了求解的一般方法。例如對于常系數線性微分方程，我們可以用很多種方法來求解它。有特征方程法、常數變易法、升階法、降階法、比較系數法等等。</p><p>　　接下來，先介紹一些有關的概念：</p><p>　　定義1：一般

3、地，聯(lián)系著自變量、未知函數及其導數的關系式，叫做微分方程.</p><p>　　定義2：如果在微分方程中，自變量的個數只有一個，則稱這種微分方程為常微分方程.</p><p><b>　　例如，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　就是常微分方程，這里是未知函數，是自

4、變量。</p><p>　　定義3：微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階數.</p><p>　　階常微分方程一般具有形式</p><p><b>　　（1.1）</b></p><p>　　其中,是的已知函數，并且必含有。</p><p>　　定義4：若是的一次有理整式，

5、則稱方程(0.1)為階線性方程；不是線性方程的方程稱為階非線性方程。一般地，階線性方程具有形式</p><p><b>　　(1.2)</b></p><p>　　其中，是的已知函數。</p><p>　　定義5：設函數在區(qū)間內,且有已知的到階的各階導數,使得在內成立,則稱函數為方程（1.1）的解.</p><p>　　

6、一般的,如果常微分方程的解中含有的獨立的任意常數的個數與方程的階數相等,則稱這樣的解為常微分方程的通解.滿足初值條件的解稱為特解.</p><p>　　定義6:常系數線性微分方程是線性微分方程中的一個概念。n階線性微分方程</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數。如果則方程（1.3）變成

7、 (1.4)</p><p>　　我們稱它為n階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性微分方程，而稱一般的方程（1.3）為n階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性微分方程。</p><p>　　定義7：設齊次線性微分方程中所有系數都是常數，即方程有如下形狀</p><p><b>　　（1.5）</b></p>

8、;<p>　　其中為常數。我們稱（1.5）為n階常系數齊次線性微分方程；若</p><p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　其中為常數,而為連續(xù)函數。我們稱（1.6）為n階常系數非齊次線性微分方程。</p><p>　　定義8：已知n階常系數齊次線性微分方程</p><p>　　，

9、 （1.7）</p><p>　　我們把代入（1.7）得因此,為方程的解的關系條件是:是代數方程</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p>　　的根,方程稱為方程（1.8）的特征方程,它的根為方程(1.7)的特征根。</p><p><b

10、>　　二、主題部分</b></p><p>　　常微分方程是伴隨著微積分的產生和發(fā)展而成長起來的一門歷史悠久的學科。從誕生之日起很快就顯示出這門課程不僅在數學科學領域起著重要的作用，而且在物理、經濟、工程等領域也是它在應用上的重要作用。特別是作為Newton 力學的得力助手，在天體力學和其它機械力學領域內顯示了巨大的功能。Sir I Newtont通過解微分方程證實了地球繞太陽的運動軌道是一個橢

11、圓，從理論上得到了行星運動的規(guī)律。海王星的存在是天文學家U Le Verrier和J Adams先通過微分方程的方法推算出來，然后才實際觀測到的，這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大能量。隨著科學技術的發(fā)展和社會的進步，常微分方程的應用不斷擴大和深入。時至今日，可以說常微分方程在所有自然科學領域和眾多社會科學領域都有著廣泛的應用，在數學學科內部的許多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整個數學課程體系中

12、的重要組成部分，常微分方程每一步進展都離不開其他數學分支的支援如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。反過來，</p><p>　　微分方程的首要問題是如何求一個給定方程的通解或特解。到目前為止，人們已經對許多微分方程得出了求解的一般方法。通過大量閱讀相關的參考文獻,發(fā)現許多作者重點研究了常數變易法、比較系數法等。

13、下面就對這些文獻進行綜述：</p><p>　　王高雄、周之銘、朱思明在文獻[1]中介紹了常微分方程的發(fā)展歷史,基本概念、相關的一些理論依據、解的定義以及求解的方法。</p><p>　　時寶和黃朝炎在文獻[2]中介紹了微分方程的產生,用具體例子說明微分方程的建立過程；并介紹了微分方程的概念以及它的解等相關的概念；還介紹了線性微分方程的一般理論和常系數方程的解法,同時還舉了一些簡單的例子,

14、以便于讀者更好地理解。</p><p>　　丁同仁、李承治在文獻[3]中介紹了微分方程及其解的定義以及幾何解釋,并介紹了一些求解方法。</p><p>　　周義倉,靳禎,秦軍林在文獻[4]中介紹了常微分方程及其應用。作者利用建模、應用和計算機等特點形成理論、方法、建模、應用、計算機互相滲透與補充的新體系。既講述求解各類微分方程解析解、數值解的方法，又介紹了用計算機分析求解的過程。</

15、p><p>　　Han Bo, Cao Li在文獻[5]中介紹了非線性方程的一類半隱式方法，作者基于求解常微分方程剛性問題的A-穩(wěn)定Rosenbrock 方法，引入一類求解非線性方程的半隱式迭代法，給出了收斂階的分析。通過幾個困難的方程求解問題，與Newton法、光滑與阻尼方法進行了數值比較。</p><p>　　G.Zill,Michael 

16、R.Cullen在文獻[6]中介紹了常系數線性微分方程的解法。他采用的是先找出方程的輔助方程的根，接著求出輔助方程的根，最后得到原方程的通解。這種方法最主要的環(huán)節(jié)是求解輔助方程的根，對于高階方程，其輔助方程的根較難求得，因此作者還介紹了計算機的使用。</p><p>　　錢祥征、黃立宏編在文獻[7]中介紹了實際生活中的一些常微分方程,以及與常微分方程相關的一些基本概念和求解方法.</p><p

17、>　　楊國梁、周周、楊志勇等在文獻[8]中介紹了求解形如的一些微分方程的特解的一種新方法,并給出了為多項式時的特解,即:</p><p>　　設方程為,分別對方程的兩邊對求次導,得到</p><p><b>　　······</b></p><p>　　此時,令,即可得到,顯然此

18、時.將和代入倒數第二個式子,可得,由此逐步推到原方程,即可得到它的一個特解。</p><p>　　莫里斯·克萊因在文獻[9]中介紹了一些古今的數學思想,而有關于微分方程的相關內容主要介紹了18世紀的常微分方程.</p><p>　　熊燦，謝建新在文獻[10]中給出了二階常系數齊次線性微分方程通解的三角函數形式或雙曲函數形式，同時得出了利用位移定理，結合待定系數法解幾類特殊的二階常

19、系數非齊次線性微分方程的解法，簡化了此類微分方程的求解過程。</p><p>　　陳文勝在文獻[11]中將常數變易法應用于二階常系數線性微分方程求解，得到一種學生易于掌握的方法。其優(yōu)點是無需求特解，無需求基本解組，但可求通解。</p><p>　　米翠蘭在文獻[12]中用解一階微分方程的常數變易法求解三階常系數非齊次線性微分方程，其優(yōu)點是無需求特解，無需求基本解組但可求通解，并且給出了一個

20、通用的公式。</p><p>　　朱廣榮、王述超在文獻[13]中介紹了兩種求常系數非齊次線性微分方程特解的簡便方法, 并且給出了一些實例, 從而避免了一般教材介紹的利用待定系數法求特解所帶來的繁瑣計算。</p><p><b>　　1、降階法</b></p><p>　　定理1：　若 對應的齊次方程的特征根為, 則方程的通解為</p>

21、;<p>　　我們可以利用該通解式, 令積分常數均為0,即得原方程的一個特解。 這種解法不僅推廣了自由項的形式, 而且可避免待定系數法之繁鎖。</p><p>　　定理2：　若 對應的齊次方程的特征根為。</p><p>　?。?）當 時，原方程的特解為（積分常數為0），特別地，，且為共軛復數時，有</p><p><b>　　。</b

22、></p><p>　　(2)當 時, 原方程的特解為 。</p><p><b>　　2、升階法</b></p><p>　　我們先考慮為多項式的情況, 可設，現在求的一個特解。對兩端連續(xù)做 次求導,</p><p><b>　　......</b></p><p>

23、　　從上面一系列式子中的最后一個, 可令，此時，這樣由通過最后第二個式子可得 , 如此往上推, 一直到, 可得一個特解y ，我們稱這個方法為升階法。</p><p>　　張金戰(zhàn)在文獻[14]中介紹了求二階常系數線性齊次微分方程的特解的方法.他是在已知二階常系數齊次微分方程的一個特解的條件下,討論求二階常系數線性非齊次微分方程的一個特解的方法的,并根據齊次方程的特征根的不同情形給出了非齊次微分方程的通解,同時還給出

24、了兩個定理:</p><p>　　定理3：若二階常系數齊次微分方程有兩個不相等的實特征根,則非齊次二階常系數方程的通解為,其中為任意常數.</p><p>　　定理4：若二階常系數齊次微分方程有兩個相等的實特征根,則二階常系數非齊次微分方程的通解為,其中為任意常數.</p><p>　　殷華敏和霍錦霞在文獻[15]中介紹了用待定系數-疊加法求常系數非齊次線性微分方程

25、的解的方法,提出要求得此解必須做兩件事：1、求余函數；2、求方程的任一特解.由此求得方程在區(qū)間的通解,為.</p><p>　　通常情況下求特解的方法是待定系數法,這種方法的基本思想是猜的形式,其中受的影響.這種方法只能適用于兩個條件的非齊次線性微分方程：</p><p><b>　　1、都是常數；</b></p><p>　　2、是常數,或多

26、項式,或指數函數的有限和、有限積.</p><p><b>　　三、總結部分</b></p><p>　　本文先介紹了關于微分方程的一些歷史背景和一些相關的概念，并對所閱讀的參考文獻進行綜述，最后對整篇文章進行總結。常系數線性微分方程的解法有很多種，但是每種方法都有各自的優(yōu)缺點。比如，常數變易法應用于二階常系數線性微分方程時，得到一種學生易于掌握的方法，它的優(yōu)點是無需

27、求特解，無需求基本解組就可求通解。認識到解微分方程方法的適用性就可以大大提高解微分方程的效率和可操作性。解微分方程可以加深對數學概念及方法的理解.通過對解題的分析評價，可以領略數學的嚴謹、推理的美妙。</p><p>　　總之，微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學科，自1693年微分方程概念的提出到動力系統(tǒng)的長足發(fā)展，常微分方程經歷漫長而又迅速的發(fā)展，極大豐富了數學家園的內容。隨著社會技術的發(fā)展和需求，微分方程

28、會有更大的發(fā)展，可以預測：隨著依賴數學為基礎的其他學科的發(fā)展，微分方程還會繼續(xù)擴展。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1]王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程 [M].第三版.北京:高等教育出版社. 2006:16-17,120-121,136-144.</p><p>　　[2]時寶,黃朝炎.微分方程基

29、礎及其應用[M].北京:科學出版社.2007:6-7.</p><p>　　[3]丁同仁,李承治.常微分方程教程 [M].第二版.北京:高等教育出版社.2004:1-4.</p><p>　　[4]周義倉,靳禎,秦軍林.常微分方程及其應用[M].北京:科學出版社.2003:1-7   </p><p>　　[5]Han Bo,

30、 Cao Li. A kind of semi2implicitmethods for nonlinear equations[J].JOU.JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEI LONG JIANG UNIVERSITY.2008：25(6),751-754.</p><p>　　[6]Dennis G

31、.Zill,Michael R.Cullen. 微分方程與邊界值問題.英文版[M].第五版.北京：機械工業(yè)出版社, 2003: 158-163</p><p>　　[7]錢祥征,黃立宏.常微分方程[M].湖南:湖南大學出版社.2007:5-6.</p><p>　　[8]楊國梁,周周,楊志勇等.二階常系數非齊次線性微分方程特解的一種求法[J].內江師專學院學報.2009,24:248-25

32、0.</p><p>　　[9]莫里斯·克萊因.古今數學思想（第二冊）[M].上海:上?？茖W技術出版社.2002:199-202.</p><p>　　[10]熊燦,謝建新.二階常系數微分方程解法的簡化[J].南昌工程學院學報.2010:29(1):5-8.</p><p>　　[11]陳文勝.常數變易法在二階常微分中的應用[J].中山大學學報論叢. 20

33、01:21(3),47-48.</p><p>　　[12]米翠蘭.常數變易法求解三階常系數非齊次線性微分方程[J].唐山師范學院學報.2005:27(2):62-64.</p><p>　　[13]朱廣榮,王述超.常系數非齊次線性微分方程解法探討錢祥征[J].信陽師范學院學報.2003:16(2),233-235.</p><p>　　[14]張金戰(zhàn).二階常系數線