正弦和余弦定理應(yīng)用舉例

1、第八節(jié) 正弦和余弦定理應(yīng)用舉例,1.仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫 仰角，在水平線 的角叫俯角(如圖①).,上方,下方,2.方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方 位角為α(如圖②).,仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？,提示：三者的參照不同.仰角與俯角是相對(duì)于水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的.,3.方向角相對(duì)于某

2、一正方向的水平角(如圖③)(1)北偏東α°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.(2)北偏西α°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.(3)南偏西等其他方向角類似.,4.坡度 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角). 坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡比).,1.從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則 α，β之間的關(guān)系是

3、 (　　) A.α>β　　　　　　　　 B.α＝β C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°,解析：根據(jù)仰角與俯角的含義，畫圖即可得知.,答案：B,2.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等， 燈塔A在觀察站C的北

4、偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東 60°，則燈塔A在燈塔B的 (　　) A.北偏東10°　　　　 B.北偏西10° C.南偏東10°　　　　 D.南偏西10°,解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，

5、又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.,答案：B,3.如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下 列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是 (　　) A.α，a，b　　　　　B.α，β，a C.a，b，γ　　　　　D.α，β，b,解析：選項(xiàng)B中由正弦定理可求

6、b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似.,答案：A,4.在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角 分別是30°、60°，則塔高為　　　　m.,解析：如圖所示，設(shè)塔高為h m.由題意及圖,可知（200-h）·解得,答案,5.如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì) 岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，

7、AB＝ 120m，則這條河的寬度為　　　　m.,,解析：如圖，在△ABC中，過(guò)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD為所求寬度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此這條河寬為60 m.,答案：60,有關(guān)距離測(cè)量問(wèn)題，主要是利用可以測(cè)量的數(shù)據(jù)，通過(guò)解三

8、角形計(jì)算出不易測(cè)量的數(shù)據(jù)；遇到多邊形問(wèn)題，可以分割為n個(gè)三角形來(lái)解決.,某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離.,【解】　在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45

9、76;，根據(jù)正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，根據(jù)正弦定理得又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根據(jù)勾股定理有AB=所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為,1.某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南 偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得與C相距31千米的公路上

10、 B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D，此時(shí) 測(cè)得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？,解：如圖所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，,cosB=,得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D處距A有15千米.,測(cè)量高度問(wèn)題一般是利用地面上

11、的觀測(cè)點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度，這類問(wèn)題一般用到立體幾何知識(shí)，先把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，再通過(guò)解三角形加以解決.,某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高.,依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40米，此時(shí)∠DBF＝45°，從C到D沿途測(cè)塔的仰角，只有B到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí)，仰角才最大

12、，這是因?yàn)閠an∠AEB＝ AB為定值，BE最小時(shí)，仰角最大.要求出塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,【解】　在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得過(guò)B作BE⊥CD于E，顯然當(dāng)人在E處時(shí)，測(cè)得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝1

13、5°，,在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，故所求的塔高為 米.,2.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水 平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β， CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.,解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得,所以BC在Rt △ABC中，AB=BCtan,測(cè)量角度問(wèn)題

14、也就是通過(guò)解三角形求角問(wèn)題，求角問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值.如果是用余弦定理求得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該角的正弦，就需要討論解的情況了.,在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處( -1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2 n mile的C處的緝私船奉命以10 的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東3

15、0°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？,本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用.如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.,【解】　設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD＝10 ，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝ －1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2

16、－2AB·ACcos∠BAC＝( －1)2＋22－2·( －1)·2·cos 120°＝6，,∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向垂直.∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD＝30°.即緝私船沿東偏北30°方向能最快追上走私船.,sin∠BCD=,3.外國(guó)船

17、只除特許外，不得進(jìn)入離我國(guó)海岸線d n mile以 內(nèi)的區(qū)域，如圖所示，設(shè)A和B是我國(guó)的觀測(cè)站，A與B 之間的距離為s n mile，海岸線是過(guò)A、B的直線，一外 國(guó)船只在P點(diǎn)，在A站測(cè)得∠BAP＝α，同時(shí)在B站測(cè)得 ∠ABP＝β，問(wèn)α及β滿足什么三角函數(shù)不等式時(shí)，就 應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告，命令其退出我 國(guó)海域？,解：過(guò)P作PC⊥AB交BA延長(zhǎng)線于C，在△ABP中，由正弦定理，得,

18、∴當(dāng)PC≤d，即 時(shí)，就應(yīng)向未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告.,在Rt△APC中，PC=·sin,在高考試題中，解三角形常作為工具解決實(shí)際問(wèn)題.2009年寧夏、海南卷(理)就考查了這一點(diǎn).該題最大的創(chuàng)新是讓考生自己組織語(yǔ)言描述解題的步驟，這是一大難點(diǎn).同時(shí)考生經(jīng)歷了現(xiàn)實(shí)生活中從已知到未知的解題過(guò)程，能發(fā)揮數(shù)學(xué)的價(jià)值，這最能體現(xiàn)新課標(biāo)的意圖，還能有效考查考生的

19、能力，代表了一種新的考查方向.,(2009·海南、寧夏高考)為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離.設(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟.,[解]　方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N的俯角α2、β2；A

20、、B間的距離d(如圖所示).②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理得第二步：計(jì)算AN.由正弦定理得第三步：計(jì)算MN.由余弦定理得,MN=,AN=,AM=,方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示).②第一步：計(jì)算BM.由正弦定理得第二步：計(jì)算BN.由正弦定理得BN=第三步，計(jì)算MN.由余弦定理得,MN=,本題要求考生設(shè)計(jì)方案解決問(wèn)題，方案的每一步