圓錐曲線的最值問題

1、第六講 圓錐曲線的最值問題,圓錐曲線中的最值問題是高考的熱點，必考點，也是難點之一。不僅會在選擇題或填空題中進行考察，在綜合題中的第2小題，將其設(shè)計為大型試題考查的核心，有時恰恰起到?jīng)Q定性的作用。,圓錐曲線中的最值問題可以說是對所有高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個綜合，它匯集了圓錐曲線性質(zhì)、平面幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、不等式、基本不等式求最值、二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、三角換元等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；還必須要有各種整理、變形、換元等技巧的

2、運用。要在有限的時間里解決它，所以大部分學(xué)生望而生畏、望而心嘆，借學(xué)生的話，“心有余而力不足”。有時真的顯得有點無奈。,第二步： 解決這類問題的基本方法是對目標函數(shù)進行變形，運用幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、判別式法、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、先換元再均值不等式，函數(shù)導(dǎo)數(shù)等方法解決；,第一步：解決這類問題的基本思想是建立目標函數(shù)，關(guān)鍵在于選取一個合適的變量，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐

3、標，向量數(shù)乘的系數(shù)等等；,盡管如些，但我們既然選擇理科，本身就是對自然科學(xué)知識的一種自我挑戰(zhàn)。靜下心來，類比這些年來高考題型，還能發(fā)現(xiàn)這類問題的有以下兩點是明確的，那就是：,【熱身演練】,1. 定長為12的線段AB的端點在雙曲線 的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為_____.2.已知點 ，F(xiàn)是橢圓 的左焦點，一動點M在橢圓上移動

4、，則|AM|+2|MF|的最小值為_____.3.若動點P在直線2x+y+10=0上運動，直線PA、PB與圓x2+y2=4分別切于點A、B，則四邊形PAOB面積的最小值為_______.,10,8,【典例分析】,類型一:兩條線段和或差的最值問題,【典例分析】,變式訓(xùn)練1,【典例分析】,【典例分析】,求兩條線段和或差的最值問題一般“化曲為直”，“化折為直”，轉(zhuǎn)化為三點共線問題，即利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊而解之。

5、,方法感悟：,在圓錐曲線中涉及到一條焦半徑長度的相關(guān)問題，往往利用曲線的第一定義或第二定義進行轉(zhuǎn)化。,如：直線上動點到直線外兩點距離之和、之差的最值問題,類型二：圓錐曲線上動點到定直線的距離的最值,【典例分析】,切線法,類型二：圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值,【典例分析】,三角換元法,【典例分析】,方法感悟：,（切線法）,【典例分析】,變式訓(xùn)練2.,解法二：切線法,【典例分析】,類型三：圓錐曲線上點到x軸（Y軸）上某定點的距離的最值

6、,【典例分析】,變式訓(xùn)練3.,【典例分析】,【典例分析】,類型四：通過引入?yún)?shù)，運用函數(shù)和方程思想或基本不等式求取值范圍,,.,【典例分析】,,,【典例分析】,【典例分析】,例2、已知橢圓 的左焦點為F，O為坐標原點，過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求G橫坐標的取值范圍.,,【典例分析】,【典例分析】,【典例分析】,【典例分析】,【典例分析】,【典例分析】,

7、方法感悟：,目標函數(shù)法,1、直接運用圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解;2 、建立目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成求值域問題; 3 、建立關(guān)于目標的不等式轉(zhuǎn)化成解不等式問題.,,,突破方向三、根據(jù)已知條件或隱含條件建立關(guān)于目標的不等式。,,,知識整理：與圓錐曲線有關(guān)的最值或范圍問題常用的兩種方法：1、代數(shù)法： (1)不等式(組)求解法：依據(jù)題意，結(jié)合圖形，列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式(組)得出參數(shù)的變化范圍； (

8、2)函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍．,2、幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征的意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；,備用題,,,右支上一點P,P,的最大值,M,N,,,,4.橢圓 且滿足 ，若離心率為e，則 的最小值為( )(A)2

9、 (B) (C) (D),5.設(shè)點P是橢圓 上的動點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，則sin∠F1PF2的最大值為_________________,B,【解題回顧】本題若選擇PQ為底表示△POQ的面積則運算量較大,1.過橢圓2x2+y2=2的一個焦點作直線交橢圓于P，Q兩點，求△

10、POQ面積S的最大值.,【解題回顧】本題是通過建立二次函數(shù)求最值，基本手法是配方，要注意頂點橫坐標是否在此區(qū)間內(nèi)的討論.,2.已知定點A(a,0)，其中0＜a＜3，它到橢圓 上的點的距離的最小值為1，求a的值.,【解題回顧】通常函數(shù)表達式中若有兩個變量，應(yīng)尋找兩變量之間關(guān)系，通過代換變?yōu)橐粋€變量，由此變量的范圍求得函數(shù)的最值.,3.已知拋物線x2=4y和圓x2+y2=32相交于A、B兩點，圓與y軸正方

11、向交于點C，l是過ACB弧上的點且與圓相切的直線，l與拋物線相交于M、N兩點，d是M、N兩點到拋物線焦點的距離之和.求(1)A、B、C三點的坐標； (2)當(dāng)d 取最大值時l 的方程,【解題回顧】要善于將所求問題進行轉(zhuǎn)化．比如本題是把CD長的最大值轉(zhuǎn)化為求縱截距b的取值范圍問題，結(jié)合圖形分析則更直觀.,4.已知直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點，直線l 經(jīng)過點(-2，0)及AB中點，CD是y軸上的一條線段

12、，對任意的直線l 都與線段CD無公共點，求CD長的最大值.,延伸·拓展,5.在直角坐標平面上給定一曲線y2=2x(1)設(shè)點A的坐標為(2/3，0)，求曲線上距點A最近的點P之坐標及相應(yīng)的距離|PA|；(2)設(shè)點A的坐標為(a,0),a∈R，求曲線上的點到點A距離之最小值d，并寫出d=f(a)的函數(shù)表達式.,【解題回顧】一般而言，對拋物線y2=2px，則有,誤解分析,(1)誤以為拋物線上距A最近的點一定為拋物線的頂點是導(dǎo)

13、致第二小題出錯原因之一,(2)建立目標函數(shù)后，d2是關(guān)于x的二次函數(shù)，要進行分類討論求得d2的最小值，否則會出現(xiàn) 的錯誤結(jié)果.,1．解決參數(shù)的取值范圍問題常用的方法有兩種：①不等式(組)求解法：根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式(組)得出參數(shù)的取值范圍；②函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)表示為有關(guān)某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求參數(shù)的變化范圍．2．解答存在