圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型

1、2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式，化解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法，是設(shè)出直線方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的

2、載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識(shí)這些常見(jiàn)的結(jié)論，那么解題必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見(jiàn)的幾種定點(diǎn)模型：模型一：模型一：“手電筒手電筒”模型模型例題、例題、（07山東）山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)13422??yxmkxyl??：（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的l坐標(biāo)。解：解：設(shè)，由得，1122()()Axy

3、Bxy223412ykxmxy???????222(34)84(3)0kxmkxm?????，22226416(34)(3)0mkkm??????22340km???212122284(3)3434mkmxxxxkk????????22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk????????????以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)且，?(20)D1ADBDkk???，，1212122yyxx??

4、????1212122()40yyxxxx?????，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk?????????整理得：，解得：，且滿足2271640mmkk???12227kmkm????22340km???當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；2mk??:(2)lykx??(20)當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)27km??2:()7lykx??2(0)7綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為l2(0).7◆方法總結(jié)：方法總結(jié)：本題為“

5、弦對(duì)定點(diǎn)張直角弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過(guò)定點(diǎn)。（參考百度文庫(kù)文章：“圓錐曲線))()((2222022220babaybabax????的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）◆模型拓展：模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒手電筒”模型：模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒??BPAPkk??BPAPk

6、k模型）。（參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)）此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；mkxy???Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；1???BPAPkk)()(kfmmfk??或者Step3：將代入，得。)()(kfmmfk??或者mkxy??定定yxxky???)(◆遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練練習(xí)練習(xí)1：過(guò)拋物線M:上一點(diǎn)P（12）作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB，交M于A、B兩點(diǎn)，

7、pxy22?線是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.DE【解】（1）設(shè)（5分）.41)1(||||)(222xyxyxCBPBBCPCyxP????????化簡(jiǎn)得得代入).21(14)2()2(2的坐標(biāo)為點(diǎn)得代入將AmxymA???044422??????tmtyxytmyxDE得代入的方程為設(shè)直線）（（，則設(shè)016)444)()(221212211??????????tmtyymyyyxEyxD4)(21)()2)(2()1)(1(212121

8、212121?????????????????yyyyxxxxyyxxAEAD5)(2)44(44212122212221?????????yyyyyyyy5)(242)(16)(212121221221???????????yyyyyyyyyymmttmttmt845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222??????????????化簡(jiǎn)得)1(23)1(43484962222?????????????mtmtmmtt）

9、即（即01252????????）式檢驗(yàn)均滿足代入（或mtmt1)2(5)2(???????ymxymxDE或的方程為直線））不滿足題意，定點(diǎn)（（過(guò)定點(diǎn)直線21).25(??DE練習(xí)練習(xí)7：已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線xyC4:2?l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.（I）證明:為定值OMOP??????????（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；25OMOP

10、（Ⅲ）證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).解：（I）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共PyyPyyM?)4()4(222121線，4414222121211yyyyyykkDMAM??????即4142121211?????yyyyyy即.544212221??????yyyyOPOM(II)設(shè)∠POM=α，則.5cos||||????OPOM由此可得tanα=1..5sin||||25???????OPOMSROM?又.4545)0(?????的夾角為與故向量